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相关试卷

1、如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D, A D = C D, ∠ A D B = ∠ B D C$ ， E为 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 2, ∠ A C B = 60 °$ ，点F在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

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2、函数 $f (x) = e^{λ x} - 4 \sin x + λ - 2$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线为 $y = a x - a - 3, a \in R$ .

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上零点的个数.

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3、平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 $A B C D$ 的顶点在同一平面上，已知 $A B = B C = C D = 2, A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、当 $B D$ 长度变化时， $\sqrt{3} cos A - cos C$ 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．

(2)、记 $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，请求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值．

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4、设 $k > 0$ ，若存在正实数x，使得不等式 $\log_{4} x - k \cdot 2^{k x - 1} \geq 0$ 成立，则k的最大值为．

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5、已知向量 $\vec{a} = (\sin θ, \cos θ)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\sin^{2} θ + \sin 2 θ$ 的值为.

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6、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，若 $P (5 < X \leq 6) = 0.27$ ，则 $P (X < 4) =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω \leq 2$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ），函数 $g (x) = |f (x) + \frac{1}{2}|$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的新函数是奇函数 C、 $h (x) = f (x) + 1$ 的对称中心（ $- \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}$ ， 1）， $k \in Z$ D、若方程 $f (x) = 1$ 在（0，m）上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4})$

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8、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ C、 $|z_{1} - z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$ D、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$

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9、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - 2 f (x) < 0$ ， $f (0) = 1$ ，则（）

A、 $e^{2} f (- 1) < 1$ B、 $f (1) > e^{2}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > e$ D、 $f (1) < e f (\frac{1}{2})$

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10、如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为 $0, 1, 2, \dots, 10$ ，用 $X$ 表示小球最后落入格子的号码，若 $P (X = k) \leq P (X = k_{0})$ ，则 $k_{0} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的中心作直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点， $F$ 是 $C$ 的一个焦点，则 $△ P F Q$ 周长的最小值为（）

A、16 B、14 C、12 D、10

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12、若正数x，y满足 $x^{2} - x y + 2 = 0 ，$ 则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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13、已知集合 $A = \{x |x^{2} - \sqrt{2} x - 4 \leq 0\}$ ，则 $A \cap N =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (A) = - \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 5$ ，求 $B C$ ．

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15、已知函数 $f (x) = 2 a x - a - 1$ ， $g (x) = e^{x} - e x$ .

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性并求极值.

(2)、设函数 $h (x) = g^{'} (x) - f (x)$ （ $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数），若函数 $h (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有两个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 (a > b >0)$ 的左，右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $F$ 是椭圆的右焦点， $\vec{A F} =3 \vec{F B}$ ， $\vec{A F} ⋅ \vec{F B} =3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，记直线 $l$ 、 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k$ 、 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ .若 $k (k_{1} + k_{2}) =1$ ，证明直线 $l$ 过定点，并求出定点的坐标．

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17、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $A E ⊥ B E$ ，四边形 $B C D E$ 为梯形， $B C ∥ D E$ ， $B C ⊥ B E$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $B E = 2$ ， $B D$ 交 $C E$ 于点 $O$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $A P = 2 P B$ .

(1)、证明： $O P / /$ 平面 $A C D$ .

(2)、求二面角 $A - C D - E$ 的正弦值.

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18、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：

(1)、补全下面的 $2 \times 2$ 列联表（单位：只）；
药物 $A$
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
7
服用
8
19
合计

(2)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的有效性.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考附表：
$α$
0.100
0.050
0.025
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024

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19、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ ，直线 $l : 4 x - 3 y + 23 = 0, P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $M$ ，则 $|P M|$ 的最小值为.

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20、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 3) + g (x) = 3$ ， $f (x) - g (- 1 - x) = 1$ ，且 $g (- 1) = 2$ ， $g (x - 1)$ 为偶函数，则下列选项正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = - 1$ 对称 B、 $f (2) = 1$ C、 $g (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} [f (k) + g (k)] = 6074$

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药物 $A$	疾病B		合计
药物 $A$	未患病	患病	合计
未服用		7
服用	8		19
合计

$α$	0.100	0.050	0.025
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024