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相关试卷

1、为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.

(1)、根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；
性别
运动达标情况
合计
运动达标
运动欠佳
男生
女生
合计

(2)、现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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2、下列说法正确的是（）

A、对个变量 $x$ ， $y$ 进行线性相关检验，得线性相关系数 $r_{1} = 0.8995$ ，对两个变量 $u$ ， $v$ 进行线性相关检验，得线性相关系数 $r_{2} = - 0.9568$ ，则变量 $x$ 与 $y$ 正相关，变量 $u$ 与 $v$ 负相关，变量 $u$ 与 $v$ 的线性相关性较强 B、若随机变量 $Y ~ B (3, \frac{2}{3})$ ，则 $D (2 Y) = \frac{8}{3}$ C、在 ${(1 + x)}^{6}$ 的展开式中，奇数项的二项式系数和为32 D、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 1)$ ，且 $P (2 \leq X \leq 4) = 0.6826$ ，则 $P (X > 4) = 0.3174$

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3、若函数 $f (x) = k e^{x} - x^{2} + 3$ 有三个零点，则k的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{6}{e^{3}})$ B、 $(- 2 e, \frac{6}{e^{3}})$ C、 $(- 2 e, 0)$ D、 $(- \infty, \frac{6}{e^{3}})$

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4、设直线 $l$ 的方程 $x + y cos θ +2=0 (θ ∈R)$ 则直线的倾斜角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, π]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) ∪ (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$

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5、白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（）

A、 $\frac{55 π}{6} {cm}^{3}$ B、 $\frac{51 π}{6} {cm}^{3}$ C、 $\frac{47 π}{6} {cm}^{3}$ D、 $\frac{43 π}{6} {cm}^{3}$

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6、设集合 $A = \{(x, y) |y = x\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{3}\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、我们把各边与椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的对称轴垂直或平行的 $E$ 的内接四边形叫做 $E$ 的内接矩形．如图，已知四边形 $P Q R S$ 是 $E$ 的一个边长为1的内接正方形， $P S$ ， $Q R$ 分别与 $x$ 轴交于 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $E$ 的两个焦点．

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $A_{i} (i = 1, 2, \dots, 100)$ 是四边形 $P Q R S$ 内部的100个不同的点，线段 $P Q$ ， $R S$ 与 $y$ 轴分别交于 $E_{1}$ ， $E_{2}$ ，记 $d_{k} = \sum_{i = 1}^{100} |E_{k} A_{i}|$ ，其中 $k = 1, 2$ ，证明： $d_{1}$ ， $d_{2}$ 中至少有一个小于 $25 (1 + \sqrt{5})$ ．

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + b \sin x$ ， $a \in R$ ， $b \in [- 1, 1]$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的值域；

(2)、当 $b = 1$ 时， $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $O$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，点 $D, G$ 分别在棱 $C C_{1}, B_{1} C {}_{1}$ 上，且 $B_{1} G : G C_{1} = C D : D C_{1} = 1 : 2$

(1)、求证： $A_{1} C / /$ 平面 $D O G$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均相等，求平面 $A A_{1} C_{1} C$ 与平面DOG的夹角的余弦值．

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10、在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：
月份 $x$
1
2
3
4
5
6
销量 $y$
12
21
33
41
52
63

(1)、根据往年的统计得，当年的月份 $x$ 与销量 $y$ 满足回归方程 $\hat{y} = 10 x + t$ ．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？

(2)、该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记 $X$ 为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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11、设公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 3 a_{1}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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12、已知直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $P Q$ 中点的纵坐标始终为1，则 $|P F| + |Q F|$ 的取值范围是．

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13、已知 $\vec{p} = (\sin x, - 1)$ ， $\vec{q} = (\cos x, \frac{1}{2})$ ，若 $\vec{p} ⊥ \vec{q}$ ，则 $|\vec{p} - \vec{q}| =$ ．

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14、已知质点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 从点 $P (1, 0)$ 处分别以 $ω_{1} = 4 rad / s$ ， $ω_{2} = 2 rad / s$ 的速度同时在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上作逆时针运动，若经过 $t s$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 第一次相遇，则 $t =$ ．

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15、已知正三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 上、下底面的边长及高分别为 $\sqrt{3}$ ， $3 \sqrt{3}$ ， 2，则正三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的（）

A、斜高为 $\sqrt{5}$ B、体积为 $13 \sqrt{3}$ C、侧棱与底面所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、外接球的表面积为 $20 π$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，实轴的左、右端点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，虚轴的上、下端点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过 $F_{1}$ 且与 $C$ 的左支交于两个不同的点， $A$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $|A_{1} A_{2}| = 8$ B、四边形 $B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}$ 的周长小于24 C、 $k \in (- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ D、 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$

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17、设 $\bar{z} = (1 - i) z - 1$ ，其中 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $z$ 的实部为2 B、 $\bar{z}$ 的虚部是 $- 2$ C、 $|z| = \sqrt{5}$ D、在复平面内， $\frac{3 - i}{z}$ 对应的点在第二象限

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18、若 $A$ 为函数 $f (x) = e^{x} + x$ 图象上的一点， $B (2, 0)$ ，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2

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19、若 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2 (x - 1) - \ln \frac{x}{2 - x} + 2$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} = \frac{1}{10}$ ， $2 S_{n} = n a_{n + 1}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{19} [f (a_{i}) + f (a_{20 - i})] =$ （）

A、76 B、38 C、19 D、0

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20、函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, φ \in (- \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}))$ 的部分图象如图所示，若直线 $y = - \frac{1}{2}$ 与图象两个交点的横坐标分别为0和 $π$ ，则 $ω φ =$ （）

A、 $- \frac{8 π}{3}$ B、 $- \frac{7 π}{3}$ C、 $- \frac{4 π}{3}$ D、 $- \frac{2 π}{3}$

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性别	运动达标情况		合计
性别	运动达标	运动欠佳	合计
男生
女生
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635

月份 $x$	1	2	3	4	5	6
销量 $y$	12	21	33	41	52	63