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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x > 2\}$ ， $B = \{x |x - 5 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(2, 5)$ D、 $(5, + \infty)$

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2、某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案：
方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测.
方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测.

(1)、分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；

(2)、求两种方案检测次数相等的概率；

(3)、已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好.

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3、设函数 $f (x) = x^{2} + m \ln x$ ，其中 $m \in R$ ，且 $m \neq 0$ ．
（1）当 $m = - 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若 $x = \frac{1}{2}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且对任意 $x ⩾ 1$ ，不等式 $f (x) ⩾ a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知二项式 ${(x + 3 x^{2})}^{n}$ .

(1)、若它的二项式系数之和为 $64$ ，求展开式中系数最大的项．

(2)、若 $x = 1, n = 31$ ，求二项式的值被 $9$ 除的余数；

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5、从 $A, B, C$ 等 $7$ 人中选出 $5$ 人排成一排.

(1)、 $A, B, C$ 三人不全在内，有多少种排法？

(2)、 $A, B, C$ 都在内，且 $A, B$ 必须相邻， $C$ 与 $A, B$ 都不相邻，都多少种排法？

(3)、 $A$ 不允许站排头和排尾， $B$ 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答）

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6、若函数 $f (x) = x^{2} - a x e^{x} + 2 a e^{2 x - 1}$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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7、已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为 $ξ$ ，已知 $P (ξ = 1) = \frac{16}{45}$ ，且该产品的次品率不超过 $40 %$ ，则这10件产品的次品率为．

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8、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 $A =$ {两次的点数均为奇数}， $B =$ {两次的点数之和为8}，则 $P (B |A) =$

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9、已知直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = e^{x} - x$ 的图象相交于 $A, B$ 两点，与函数 $g (x) = x - ln x$ 的图象相交于 $B, C$ 两点， $A, B, C$ 的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则（）

A、 $e^{x_{2}} - ln x_{2} = 2 a$ B、 $x_{1} = e^{x_{2}}$ C、 $x_{2} = ln x_{3}$ D、 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$

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10、已知 $A, B$ 为随机事件， $P (A) = 0.5, P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P (A + B) = 0.9$ B、若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 0.1$ C、若 $A, B$ 相互独立，则 $P (A + B) = 0.7$ D、若 $P (B | A) = 0.3$ ，则 $P (B | \bar{A}) = 0.5$

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11、若 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第5项的二项式系数最大，则 $n$ 的可能值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 1, + \infty)$ 上的可导函数，且满足 $f (x) < - x f^{'} (x)$ ，则不等式 $f (x - 1) > (x + 1) f (x^{2} - 1)$ 的解集是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, + \infty)$

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13、不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各 $3$ 个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出 $1$ 个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有 $2$ 种不同颜色的球被取出的取法共有（）

A、 $108$ 种 B、 $148$ 种 C、 $186$ 种 D、 $216$ 种

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14、设 $y > 0$ ，则 ${(y + \frac{16}{y} - 8)}^{4}$ 的展开式中 $y^{3}$ 的系数为（）

A、16 B、448 C、 $- 32$ D、 $- 336$

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15、方程 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 8$ 的正整数解的个数为（）

A、56 B、35 C、70 D、66

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $P (X \geq m^{2}) + P (X > m + 2) = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\cos \frac{π}{6})}^{'} = - \sin \frac{π}{6}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = x 3^{x - 1}$ C、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{\log_{2} e}{x}$ D、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$

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18、若随机变量 $X$ 满足 $P (X = c) = 1$ ，其中 $c$ 为常数，则 $D (X) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、求侧面 $P B C$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值．

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20、如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D$ ， $A D = 4, A B = B C = E F = 2$ ， $E D = \sqrt{10}, F B = 2 \sqrt{3}$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $B M / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求点 $M$ 到 $A B F$ 的距离.

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