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相关试卷

1、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 a \sin C = \sqrt{3} c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， D为BC的中点， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ，求AD的长．

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2、在 $△ A B C$ 中，已知向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ，则角 $B =$ .

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A C = 2, P$ 为 $△ A B C$ 内一点， $D$ 为 $B C$ 上一点， $P D = C D = \frac{1}{2}$ ，且 $\vec{P D} = \frac{1}{2} (\vec{P C} + \vec{P B})$ .

(1)、若 $P C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $P A$ ；

(2)、若 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ，求 $△ A B P$ 的面积 $S$ ．

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4、（1）如图，已知正三棱锥 $S - A B C$ 的底面边长为2，正三棱锥的高 $S O = 1$ ．求此正三棱锥 $S - A B C$ 的体积和表面积
（2）如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}, \vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0, |\vec{A B}| = 4 \sqrt{3}, |\vec{A D}| = 4$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ．
①将四边形 $A B C D$ 绕着线段 $A B$ 所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
②将 $△ A E D$ 绕着线段 $A E$ 所在直线旋转一周形成几何体 $W$ ，若球 $O$ 是几何体 $W$ 的内切球，求球 $O$ 的表面积．

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5、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

(3)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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6、（1）已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ．求函数 $f (x)$ 的单调递减区间及其图象的对称中心；
（2）已知 $sin 2 α = \frac{3}{5}, α \in (\frac{5 π}{4}, \frac{3 π}{2})$ ． ①求 $cos α$ 的值；②求 $tan (\frac{π}{4} - α)$ 的值．

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7、如下图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 3, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E ， F$ 在 $B C, D C$ 上，且 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C} ， \vec{D F} = \vec{F C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ = ．

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8、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中 $O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为．

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9、一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）

A、 B、 C、 D、

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10、对于复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，下列结论错误的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $a + b i$ 为纯虚数 B、若 $a - b i=3+2i$ ，则 $a = 3, b = 2$ C、若 $b = 0$ ，则 $a + b i$ 为实数 D、 $i^{2} = - 1$

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11、已知 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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12、下列说法正确的是（）

A、圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B、有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C、圆柱的母线与它的轴可以不平行 D、一个多面体至少有 $3$ 个面

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13、如图，已知等腰三角形 $A B C$ ，则如图所示①②③④的四个图中，可能是 $△ A B C$ 的直观图的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、若向量 $\vec{a} = (x, - 4), \vec{b} = (- 3, 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 26$ B、 $- 13$ C、 $26$ D、 $13$

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15、将 $y =$ $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式为（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = \cos (2 x - \frac{π}{6})$

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16、设复数 $z_{1} = - 2 + 3 i, z_{2} = 1 + 2 i$ ，则复数 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、下列说法错误的是（）

A、任一非零向量都可以平行移动 B、 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是单位向量，则 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}|$ C、 $|\vec{C D}| = |\vec{D C}|$ D、若 $|\vec{A B}| > |\vec{C D}|$ ，则 $\vec{A B} > \vec{C D}$

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18、已知复数 $z = - 2 - i$ ，则 $z$ 的实部是（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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19、已知 $α$ 是第三象限角， $tan α = \frac{5}{12}$ ，则 $\cos α$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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20、（1）证明：当 $x \geq 0$ 时， $e^{x} \geq \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ ；
（2）已知函数 $f (x) = e x^{2} - x ln x$ .求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < x e^{x} + \frac{1}{e}$ .

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