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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, - 1), \vec{c}$ 是非零向量，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角相等，则 $\vec{c}$ 的坐标可以为.（只需写出一个符合要求的答案）

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2、抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线 $Ω : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l, O$ 为坐标原点，在 $x$ 轴上方有两束平行于 $x$ 轴的入射光线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，分别经 $Ω$ 上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，再经 $Ω$ 上相应的点 $C$ 和点 $D$ 反射，最后沿直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ 射出，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离等于 $l_{3}$ 与 $l_{4}$ 之间的距离.则下列说法中正确的是（）

A、若直线 $l_{3}$ 与准线 $l$ 相交于点 $P$ ，则 $A, O, P$ 三点共线 B、若直线 $l_{3}$ 与准线 $l$ 相交于点 $P$ ，则 $P F$ 平分 $∠ A P C$ C、 $y_{1} y_{2} = p^{2}$ D、若直线 $l_{1}$ 的方程为 $y = 2 p$ ，则 $cos ∠ A F B = \frac{7}{25}$

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3、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，它的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $A (a, b) (a b \neq 0, a \neq b)$ ，定义： $T i (α) = \frac{a + b}{a - b}$ .对于函数 $f (x) = T i (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到一个偶函数的图象 D、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[0, π]$ 上有两个不同的实数解

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4、已知一组数据 $1, 3, 5, 7, 9$ ，其中位数为 $a$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，极差为 $b$ ，方差为 $s^{2}$ .现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为 $a^{'}$ ，平均数为 $\bar{x^{'}}$ ，极差为 $b^{'}$ ，方差为 ${s^{'}}^{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若删去3，则 $a < a^{'}$ B、若删去9，则 $\bar{x} < \bar{x^{'}}$ C、无论删去哪个数，均有 $b \geq b^{'}$ D、若 $\bar{x} = \bar{x^{'}}$ ，则 $s^{2} < {s^{'}}^{2}$

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5、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上且无零点的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) = (1 - x) f (x)$ ，且 $f (1) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) < f (1) < f (2)$ B、 $f (2) < f (1) < f (\frac{1}{2})$ C、 $f (\frac{1}{2}) < f (2) < f (1)$ D、 $f (2) < f (\frac{1}{2}) < f (1)$

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6、6位学生在游乐场游玩 $A, B, C$ 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若 $A$ 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）

A、180种 B、210种 C、240种 D、360种

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7、已知圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = r^{2} (r > 0), A (- 6, 0), B (0, 8)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $P$ 使得 $P A ⊥ P B$ ，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 5]$ B、 $[5, 15]$ C、 $[10, 15]$ D、 $[15, + \infty)$

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8、如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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9、若正数 $x, y$ 满足 $x^{2} - 2 x y + 2 = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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10、设 $z \in C$ ，则 $z + \bar{z} = 0$ 是 $z$ 为纯虚数的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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11、已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0)$ 是奇函数，则 $φ$ 的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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12、已知集合 $M = {x ∣ x < 0}, N = {x ∣ - 2 < x < 4}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ x > - 2}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 0}$ C、 ${x ∣ x < 4}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x < 4}$

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13、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ ， $g (x) = x^{3} - \frac{1}{2} (a + 3) x^{2} + a x$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $a \in R$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 均存在极值点，且函数 $g (x)$ 的极值点均大于 $f (x)$ 的极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，直线 $l : y = k x + m$ 与双曲线 $C$ 分别交于 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 两点，当 $k = 0, m = \sqrt{3}$ 时， $|M N| = 2 |A B|$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，当 $m = - 6 k$ 且 $k \neq 0$ 时，求 $3 x_{1} x_{2} - 10 (x_{1} + x_{2})$ 和 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 的值.

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15、在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．

(1)、从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；

(2)、在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在 $[70, 100]$ 内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = A B, A C$ 与 $B D$ 相交于点E，点F在线段 $P E$ 上，且 $P F = 2 F E$ .

(1)、求证： $A F ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求平面 $A F D$ 与平面 $C F D$ 夹角的正弦值.

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17、某批零件的尺寸 $X$ 服从正态分布 $N (8, σ^{2})$ ，且满足 $P (X > 10) = \frac{1}{6}$ ，零件的尺寸与8的误差不超过2即合格，从这批产品中抽取 $n$ 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则 $n$ 的最小值为.

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18、对任意实数 $x$ ，有 $x^{4} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + a_{3} {(x + 2)}^{3} + a_{4} {(x + 2)}^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1}$ 的值为.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x \cdot e^{x}, x \leq 0, \\ | \lg x |, 0 < x < 10, \\ - x + 11, x \geq 10, \end{cases}$ ，若 $g (x) = 3 f^{2} (x) - m f (x) - 2 m^{2}$ 有6个不同的零点分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6}, f (x_{3}) = f (x_{4}) = f (x_{5})$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $x \leq 0$ 时， $- \frac{1}{e} \leq f (x) \leq 0$ B、 $x_{3} + x_{4}$ 的取值范围为 $(2, \frac{101}{10})$ C、当 $m < 0$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 3 f (x_{3} x_{4} x_{5}) + f (x_{6})$ 的取值范围为 $(- \frac{1}{e}, 0)$ D、当 $m > 0$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 3 f (x_{3} x_{4} x_{5}) + f (x_{6})$ 的取值范围为 $(0, \frac{2}{3 e})$

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}, a_{5} = 9, S_{7} = 49$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $S_{n} = n^{2}$ C、 $a_{n} + \frac{16}{a_{n + 1}}$ 的最小值为6 D、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是公比为2的等比数列

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