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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} {(x + 1)}^{2}$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - m x + ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = n x + ln x (n \in N^{*})$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线 $l$ 经过点 $(a_{n}, 0)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{\frac{(n^{2} - 1) a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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3、将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)、试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 $V$ 表示为盒底边长 $x$ 的函数；

(2)、 $x$ 多大时，盒子的容积 $V$ 最大？并求出最大值.

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4、已知 $p : f (x) = x - a \ln x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增， $q : a < m$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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5、数列 $\{{(- 1)}^{n} (2 n - 1)\}$ 的前100项和等于.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 0, a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} + 1) - a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是单调递增数列， $\{a_{2 n}\}$ 是单调递减数列 B、 $a_{n} + a_{n + 1} \leq ln 3$ C、 $S_{2020} < 1010 ln 2$ D、 $a_{2 n - 1} \leq a_{2 n}$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{|x|}{e^{x}}$ .则下列说法正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 有两个零点 B、函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ C、函数 $y = f (x)$ 有极大值 $\frac{1}{e}$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有三个不同的根.则实数 $a$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{e})$

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8、已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ， $N = {x | x > - 1}$ ，则（）

A、 $N \subseteq M$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M \cap N \neq \emptyset$ D、 $M \cup ∁_{R} N = R$

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9、设函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} + {(\ln x^{2} - 2 a)}^{2}$ ，其中 $x > 0 ， a \in R$ ，存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) \leq b$ 成立，则实数 $b$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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10、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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11、已知 $a = \frac{- ln 5}{5}, b = \frac{- ln 3}{3}, c = \frac{- ln 2}{2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{2} = 4,$ $a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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13、若 $α < β < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $α^{2} < β^{2}$ B、 $\frac{β}{α} + \frac{α}{β} > 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{α} < {(\frac{1}{2})}^{β}$ D、 $\sin α < \sin β$

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14、函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (2) < f (3) - f (2) < f^{'} (3)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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15、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 2$ ， $S_{8} = 10$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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16、命题“ $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} \geq x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} < x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} \geq x_{0} - 1$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $\ln x < x - 1$ D、 $\forall x \notin (0, + \infty)$ ， $\ln x \geq x - 1$

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17、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = a$ ， $△ A C D$ 为等边三角形，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A C D$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A D$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ ，求a的值.

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18、某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \sqrt{3} b cos C = c cos (\frac{π}{2} − B)$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20、某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.

(1)、求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；

(2)、该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设 $Ω = [\bar{x} - s - 0.018, \bar{x} + s + 0.018)$ ，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：按每人个月薪水的3%收取.
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.
参考数据： $\sqrt{174} \approx 13.2$ .

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