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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (3, 1)$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, - 2)$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$

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2、已知直线 $l_{1} : a x - y + 5 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + a y - a + 4 = 0 (a \in R)$ 的交点为P，则点P到直线 $l : y = x - 3$ 距离的取值范围是（）

A、 $[3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2}]$ B、 $(3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$ D、 $(2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$

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3、已知函数 $f (x)$ ，对任意的 $x, y \in R$ 都有 $f (x + y) = 2^{x} f (y) + 2^{y} f (x)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $\frac{f (x)}{2^{x}}$ 是奇函数 C、 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的增函数 D、 $f (n) = n \cdot 2^{n} (n \in N^{*})$

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4、如图， $A (α, \frac{3}{5})$ 是函数 $y = \sin (x - \frac{π}{6})$ 图象上的一点，则 $\tan (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $- \frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{24}$

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，若抛物线上一点 $M$ 满足 $| M F | = 2$ ， $∠ O F M = 60 °$ ，则 $p =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、8

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6、攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为 $8 m$ ，高为 $3 m$ ，则该屋顶的面积约为（）

A、 $15 {π m}^{2}$ B、 $20 {π m}^{2}$ C、 $24 {π m}^{2}$ D、 $30 {π m}^{2}$

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷数列， $a_{1} = 3$ ，则“对任意的 $m, n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 ${(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、10 B、20 C、40 D、80

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9、已知集合 $A = \{x | 2^{x} ＜ 4\}$ ， $B = \{x | \log_{\frac{1}{3}} x ＞ - 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $\emptyset$

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10、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

(1)、已知直线 $l$ 的标准式方程为 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- \sqrt{3}} = \frac{z}{2}$ ，平面 $α_{1}$ 的点法式方程可表示为 $\sqrt{3} x + y - z + 5 = 0$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、已知平面 $α_{2}$ 的点法式方程可表示为 $2 x + 3 y + z - 2 = 0$ ，平面外一点 $P (1, 2, 1)$ ，点 $P$ 到平面 $α_{2}$ 的距离；

(3)、（i）若集合 $M = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | z | \leq 1}$ ，记集合 $M$ 中所有点构成的几何体为 $S$ ，求几何体 $S$ 的体积；
（ii）若集合 $N = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | y | + | z | \leq 2, | z | + | x | \leq 2}$ .记集合 $N$ 中所有点构成的几何体为 $T$ ，求几何体 $T$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

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11、甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.

(1)、求甲在一局中得2分的概率 $P_{1}$ ；

(2)、求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率 $P_{2}$ ；

(3)、求游戏经过两局就结束的概率 $P_{3}$ .

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12、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $E$ 在棱 $A B$ 上移动.

(1)、当点 $E$ 在棱 $A B$ 的中点时，求平面 $D_{1} E C$ 与平面 $D C D_{1}$ 所成的夹角的余弦值；

(2)、当 $A E$ 为何值时，直线 $A_{1} D$ 与平面 $D_{1} E C$ 所成角的正弦值最小，并求出最小值.

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13、某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)、成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；

(3)、已知落在 $[60, 70)$ 内的平均成绩为67，方差是9，落在 $[60, 80)$ 内的平均成绩是73，方差是29，求落在 $[70, 80)$ 内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为： $m, \bar{x_{1}}, s_{1}^{2}; n, \bar{x_{2}}, s_{2}^{2}$ .记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ ，则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}]$ ）

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14、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(2 c - b) cos A - a cos B = 0$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若点 $M$ 在 $B C$ 上，且满足 $\vec{B M} = \vec{M C}, A M = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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15、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} a sin C - a - b = \frac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 b}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a + b + c)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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16、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1, \vec{a} + 2 \vec{b} = (2 \sqrt{2}, 1)$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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17、已知 $3 i - 1$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $3 x^{2} + 2 p x + q = 0$ 的一个根，则实数 $p$ 的值为.

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18、设 $O x, O y, O z$ 是空间内正方向两两夹角为 $60^{\circ}$ 的三条数轴，向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 分别与 $x$ 轴､ $y$ 轴. $z$ 轴方向同向的单位向量，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}} (x, y, z \in R)$ ，则有序实数组 $(x, y, z)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在斜 $60^{\circ}$ 坐标系 $O x y z$ （ $O$ 为坐标原点），记作 $\vec{a} = (x, y, z)$ ，则下列说法正确的有（）

A、已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，则 $|\vec{a}| = 5$ B、已知 $\vec{a} = (- 1, 2, 1), \vec{b} = (2, - 4, - 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ C、已知 $\vec{a} = (3, - 1, 2), \vec{b} = (1, 3, 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、已知 $\vec{O A} = (1, 0, 0), \vec{O B} = (0, 1, 0), \vec{O C} = (0, 0, 1)$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的外接球体积 $V = \frac{\sqrt{6}}{8}$

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19、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}$ .由这组数据得到新样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{i} - 2024 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为 $a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} - 2024$ B、 $b_{2} = b_{1}$ C、 $c_{2} = 2 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1}$

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20、现有一段底面周长为 $12 π$ 厘米和高为12厘米的圆柱形水管， $A B$ 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从 $A$ 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行 $π$ 厘米后再向下爬行3厘米到达 $P$ 点，另一只从 $B$ 沿下底部圆弧逆时针方向爬行 $π$ 厘米后再向上爬行3厘米爬行到达 $Q$ 点，则此时线段 $P Q$ 长（单位：厘米）为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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