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相关试卷

1、已知 $a = \log_{5} 10$ ， $b = \log_{2} 10$ ， $c = \log_{0.06} 10$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a + b > 4$ B、 $4^{b - \frac{1}{a}} \geq 64 \sqrt{2}$ C、 $a (b + 1) > 3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $b + c + b c < 0$

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2、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) \cdot [f (x_{2}) - f (x_{1}) + 2 \ln \frac{x_{1}}{x_{2}}] < 0$ ，且 $f (2) = 4 \ln 2$ ．满足不等式 $f (x - 2022) > 2 \ln (2 x - 4044)$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2022)$ B、 $(2022, 2024)$ C、 $[2022, + \infty)$ D、 $[2024, + \infty)$

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3、如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以 $2 {cm}^{3} / s$ 的速度向该容器内注入溶液，随着时间 $t$ （单位： $s$ ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当 $t = π$ 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

A、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{3 π} cm / s$ B、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{5 π} cm / s$ C、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{6 π} cm / s$ D、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{2 π} cm / s$

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4、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $\frac{x}{| x | + 1} < 1$ ，命题 $q : \exists x > 0$ ， $x^{3} < x^{2}$ ，则（）

A、p和q都是真命题 B、 $\neg p$ 和q都是真命题 C、p和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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5、已知 $a > b$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a^{2} > a b$ C、 $\frac{a + b}{2} > b$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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6、下列命题为真命题的有（）

A、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ B、不等式 $x^{2} + y^{2} + 1 > 2 (x + y - 2)$ 对任意的x， $y \in R$ 恒成立 C、已知实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ D、若关于x的不等式 $x^{2} + m x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \infty, 1) \cup (n, + \infty)$ ，则 $m + n = - 1$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + x + m$ 是定义在区间 $[- 2 - n, 2 n]$ 上的奇函数，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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8、记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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9、将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（）

A、22 B、30 C、37 D、46

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10、对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $(x - a + ln \frac{x}{a}) (- 2 x^{2} + a x + 10) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a =$ .

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11、已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ，则 $t min$ 后物体的温度 $θ ℃$ 满足公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ （其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是 $80 ℃$ 的牛奶放在 $20 ℃$ 空气中，冷却 $2 min$ 后牛奶的温度是 $50 ℃$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k = ln 2$ B、 $k = 2 ln 2$ C、牛奶的温度降至 $35 ℃$ 还需 $4 min$ D、牛奶的温度降至 $35 ℃$ 还需 $2 min$

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12、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若 $a_{5} = 7$ ， $a_{10} = 2$ ，则 $S_{14} =$ （）

A、49 B、63 C、70 D、126

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13、若集合 $A = \{x \in Z |\sqrt{x} \leq 2\}$ ， $B = \{x |- 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 \leq x \leq 3\}$ B、 $\{x |- 2 \leq x \leq 4\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

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14、计算 ${cos105}^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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15、已知函数 $f (x) = {(a x^{2} + b x + 1)}^{- 1} e^{x}$ .（ $a > 0$ ， $b \in R$ ， e是自然对数的底数）
（1）若 $b = 1$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1$ ，求实数a的取值范围；
（2）若 $b = 0$ ， $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $1 < f (x_{1}) + f (x_{2}) < e$ .

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16、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{9}} \frac{a - x}{2 + b x}$ ， $g (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 2} + 3$

(1)、若 $y = lg [g (x)]$ 的值域为 $R$ ，求满足条件的整数 $m$ 的值；

(2)、若非常数函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- 2, 2)$ 的奇函数，且 $\forall x_{1} \in [1, 2)$ ， $\exists x_{2} \in [- 1, 1]$ ， $f (x_{1}) - g (x_{2}) > - \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围.

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17、通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如： $\cos 3 α = \cos (2 α + α) = \cos 2 α \cos α - \sin 2 α \sin α = (2 \cos^{2} α - 1) \cos α - 2 \sin^{2} α \cos α =$ $4 \cos^{3} α - 3 \cos α$ ．

(1)、根据上述过程，推导出 $\sin 3 α$ 关于 $\sin α$ 的表达式；

(2)、求 $\sin 18 °$ 的值；

(3)、求 $\sin^{3} 126 ° + \sin^{3} 6 ° - \sin^{3} 66 °$ 的值．

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18、已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\sin α \cos α = - \frac{3}{10}$ ；

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{5 \sin^{2} \frac{α}{2} + 8 \sin \frac{α}{2} \cos \frac{α}{2} + 11 \cos^{2} \frac{α}{2} - 8}{\sqrt{2} \sin (α - \frac{π}{2})}$

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19、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $9 x^{2} + y^{2} + x y = 4$ ，则 $3 x + y$ 的最大值为．

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20、设 $k, b \in R$ ，若关于x的不等式 $k x + b \geq \ln x$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $\frac{b}{k}$ 的值可以是（）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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