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相关试卷

1、不等式 $\frac{2}{x - 1} > 3$ 的解集为

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2、对于一个数集 $E$ ，定义函数 $f_{E} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in E \\ 0, x \notin E \end{array}$ .现设数集 $U$ 是全集， $A$ ， $B$ 是 $U$ 的子集，对任意 $x \in U$ ，下列命题正确的是（）

A、如果 $A \cap B = \emptyset$ ，那么 $f_{A} (x) + f_{B} (x) \leq 1$ B、如果 $A = A \cap B$ ，那么 $f_{A} (x) - f_{B} (x) \leq 0$ C、如果 $C = A \cup B$ ，那么 $f_{C} (x) = f_{A} (x) + f_{B} (x)$ D、如果 $C = A \cap B$ ，那么 $f_{C} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$

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3、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $c \neq 0$ ，以下叙述正确的是（）

A、若 $a > b$ ，那么 $a c^{2} > b c^{2}$ . B、若 $a > b > c$ ，那么 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ . C、若 $a > b > 0$ ，那么 $\frac{a}{b} < \frac{a + c^{2}}{b + c^{2}}$ D、若 $a > b > 0$ ，那么 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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4、以下命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与函数 $g (x) = |x|$ 是相同的函数. B、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 是定义域上的单调递减函数. C、函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ 的定义域和值域相等. D、如果函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 1]$ ，那么函数 $f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 1, 2]$ .

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ， $g (x) = 2 - |x|$ ，对任意的 $x \in R$ ， $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中较小者，那么 $m (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6、函数 $f (x)$ 是奇函数， $F (x) = f (x) + x^{2} + 1$ ，已知 $F (2) = 3$ ，则 $F (- 2)$ 的值为（）

A、－6 B、－3 C、5 D、7

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7、已知 $f (x)$ 是偶函数且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，若 $f (5) = 0$ ，那么 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5, 0) \cup (5, + \infty)$ B、 $(- 5, 0) \cup (0, 5)$ C、 $(- \infty, - 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

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8、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 1$ ，那么 $a b$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、1

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9、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 在定义域上单调递增，那么（）

A、 $m = 1$ B、 $m = 3$ C、 $m = - 3$ D、 $m = - 1$

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10、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ ”的否定形式为（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

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11、已知集合 $A = \{1, 2, 5, 8\}$ ， $B = \{0, 2, 4, 5\}$ ，那么 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 4, 5, 8\}$ B、 $\{2, 5\}$ C、 $\{0, 1, 2, 4, 5, 8\}$ D、 $\{1, 5, 8\}$

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12、设 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，若 $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{5}{2}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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13、已知直线 $l_{1} : 2 x - m y - 2 = 0$ 与 $l_{2} : (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 平行，则m的值为（）

A、 $- 2$ B、3 C、2 D、 $- 2$ 或3

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14、已知函数 $f (x) = 1 - (x + 1) e^{x}$ ， $g (x) = a x - \sin x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $g (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递增，求a的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 函数的零点；

(3)、已知 $min \{m, n\} = \{\begin{matrix} m, m \leq n \\ n, n < m \end{matrix}$ ，记 $F (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ．
问是否存在实数a，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \leq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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15、2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为 $p$ ，且每局比赛相互独立．

(1)、在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计 $p$ ．
（ⅰ） $p$ 为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数 $X$ 的分布列．

(2)、如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求 $p$ 的取值范围？

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16、已知函数 $f (x) = x - \frac{2 a}{x} - (a + 2) ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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17、某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球．

(1)、求至少有一个红球的概率；

(2)、记取出白球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布、数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．

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18、直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切也与曲线 $y = g (x)$ 相切，则称直线 $y = k x + b$ 为曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线，已知函数 $f (x) = a x^{2}$ ， $g (x) = ln x$ ，其中 $a \neq 0$ ，若曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线有两条，则 $a$ 的取值范围为．

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19、在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为．

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20、如果随机变量 $X ～ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，那么 $P (X \leq 0)$ 的值为．

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