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相关试卷

1、设集合 $U_{n} = \{1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n\}, n$ 为正整数，记 $f (n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：① $A \subseteq U_{n}$ ， ②若 $x \in A$ ，则 $2 x \notin A$ ， ③若 $x \in \bar{A}$ ，则 $2 x \notin \bar{A}$ ，则 $f (16) =$

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2、设集合 $S = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ ，若集合S的所有非空真子集的元素之和是300，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ .

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3、已知一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} =$ .

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4、已知 $p : - a < x < a + 1$ ， $q : - 2 < x < 4$ ，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为.

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5、用反证法证明命题“若 $x > 1$ 且 $y > 1$ ，则 $x + y > 2$ ”时，第一步应该假设.

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6、已知集合 $A = {(x, y) ∣ y = x + 3}$ ， $B = \{(x, y) ∣ y = x^{2} + 3\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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7、已知 $4 \in \{0, 2 a, a^{2}\}$ ，则实数 $a =$ .

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8、已知等式 $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4 = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 对任意实数 $x$ 成立，则 $a b c d =$ .

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9、用列举法写出所有小于13的素数组成的集合.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $P D = 2$ ， $∠ P D A = 60 °$ ， $∠ P A D = 30 °$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在平面 $A B C D$ 内过 $B$ 作 $B O ⊥ A D$ ，交 $A D$ 于 $O$ ，连 $P O$ .

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值；

(3)、在线段 $P A$ 上存在一点 $M$ ，使直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $P M$ 的长.

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11、已知直线 $l_{1}$ ： $x + (m - 2) y = 0$ ， $l_{2}$ ： $m x + y - 2 = 0$ ，且满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，垂足为C.

(1)、求m的值及点C的坐标.

(2)、设直线 $l_{1}$ 与x轴交于点A，直线 $l_{2}$ 与x轴交于点B，求 $△ A B C$ 的外接圆方程.

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12、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面是正方形， $A D = A B = 2, A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A A_{1} = 60 °, \vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}, \vec{D_{1} B} = 2 \vec{M B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{A N}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度．

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13、已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (4, 0), B (0, 2), C (2, 6)$ .

(1)、求 $A C$ 边上的高 $B D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的中线 $A E$ 所在直线的方程.

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14、已知点 $P (- 2, 0, 2)$ ， $Q (- 1, 1, 2)$ ， $R (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{P Q}$ ， $\vec{b} = \vec{P R}$ ， $\vec{c} = \vec{Q R}$ ．

(1)、若实数 $k$ 使 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求 $k$ 值．

(2)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量．

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15、直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点 $P$ ，对任意实数 $m$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别恒过定点 $A ， B$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的最大值为

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16、已知点 $P$ 在圆 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 上，点 $A (4, 0), B (0, 2)$ ，当 $∠ P B A$ 最小时， $|P B| =$ .

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17、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3) ， \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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18、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是正方体的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（不含边界）的动点，点Q是棱 $B C$ 的中点，则以下命题正确的是（）

A、三棱锥 $Q - P C D$ 的体积是定值 B、存在点P，使得 $P Q$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、直线 $P Q$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $P D_{1} = P Q$ ，则P的轨迹的长度为 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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19、已知 $\vec{A B} = (- 2, 1, 4), \vec{A C} = (4, 2, 0), \vec{A P} = (1, - 2, 1), \vec{A Q} = (0, 4, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A P}$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量 B、 $A, B, C, Q$ 四点共面 C、 $\vec{P Q} ∥ \vec{B C}$ D、 $B C = \sqrt{53}$

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20、点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A、 $\sqrt{13}$ ； $3 x + 2 y - 5 = 0$ B、 $\sqrt{11}$ ； $3 x + 2 y - 5 = 0$ C、 $\sqrt{13}$ ； $2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $\sqrt{11}$ ； $2 x - 3 y + 1 = 0$

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