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相关试卷

1、已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为 $2$ 和 $4$ 的正方形，平面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D D_{1} = \sqrt{13}$ ， $\cos ∠ A_{1} D_{1} D = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ，点 $P$ 为 $D D_{1}$ 的中点，点 $Q$ 在棱 $B C$ 上，且 $B Q = 3 Q C$ ．

(1)、证明： $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $Q - A_{1} P - D_{1}$ 的正弦值．

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2、某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，

(1)、现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)、为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计

X = 3

时的概率.

附：①若随机变量ξ的分布列为 $P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}, k = 0, 1, 2, \dots,$ 则称随机变量ξ服从泊松分布．

②设 $η ~ B (n, p)$ ，当 $p \leq 0.05$ 且 $n \geq 20$ 时，二项分布可近似看成泊松分布．即 $P (η = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \approx \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ ，其中 $λ = E (η)$ ．

③泊松分布表（局部）

表中列出了 $P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ 的值（如： $λ = 0.5$ 时， $P (ξ = 5) = 0.000158$

$λ$ $k$	…	0.5	0.6	0.7	…
0	…	0.606531	0.548812	0.496585	…
1	…	0.303265	0.329287	0.347610	…
2	…	0.075816	0.098786	0.121663	…
3	…	0.012636	0.019757	0.028388	…
4	…	0.001580	0.002964	0.004968	…
5	…	0.000158	0.000356	0.000696	…
6	…	0.000013	0.000036	0.000081	…
7	…	0.000001	0.000003	0.000008	…

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3、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{5} ＝ 3 a_{1}$ ， $a_{1} + a_{5} + a_{14} ＝ a_{10} + 24$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $2^{n} \cdot λ \geq a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

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4、已知正四面体的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为．

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5、诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为．

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6、若复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的根，则复数 $z$ 的模为．

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7、（多选）设O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 为双曲线上一点，则（　　）

A、若 $|P F_{1}| = 3$ ，则 $|P F_{2}| = 1$ B、若 $△ P O F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ C、若线段 $P F_{1}$ 的中点在y轴上，则 $|P F_{2}| = 3$ D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的圆心到 $y$ 轴的距离为1

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8、（多选）如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是线段 $A_{1} D$ 上的动点，则（）

A、 $△ P B C_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、三棱锥 $B_{1} - P B C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、存在点P，使得 $B P$ ⊥ $P C_{1}$ D、存在点P，使得 $A_{1} D$ ⊥平面 $P B C_{1}$

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9、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，若函数 $f (x)$ 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $x = - \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，则（　　）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后所得函数的图象关于 $y$ 轴对称

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10、已知 $a e^{a} = π$ ， $b ln b = π$ ， $c = \sqrt{π}$ ，则（　　）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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11、定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 3) = f (1 - x)$ ， $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = m e^{x} - 1$ ，则 $f (31) =$ （　　）

A、 $e + 1$ B、 $e - 1$ C、 $1 - e$ D、 $- e$

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12、已知直线 $a x - y + 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ （　　）

A、 $\frac{4}{3}$ B、1 C、 $- \frac{3}{4}$ D、﹣2

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13、已知点O为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{A C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $λ + μ =$ （　　）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、1 D、6

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2} 1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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15、已知曲线 $y = x^{2} - 3 ln x$ 的一条切线方程为 $y = - x + m$ ，则实数 $m =$ （　　）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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16、抛物线 $x^{2} = - 4 y$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, - 1)$

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17、已知全集 $U = R$ ， $∁_{U} A = \{x | x < 1\}$ ， $B = \{x | x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $\{x | x \geq 1\}$ B、 $\{x | x > 3\}$ C、 $\{x | 1 < x \leq 3\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 3\}$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a}$ ．
（1）若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的单调区间，以及其最大值与最小值．

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19、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (e^{x}) - e^{x} > 0$ 的解集是．

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} < S_{8} < S_{9}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} > d$ B、使得 $S_{n} > 0$ 成立的最大正整数 $n = 18$ C、 $|a_{8} + a_{9}| < |a_{10} + a_{11}|$ D、 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 中最小项为 $\frac{S_{10}}{a_{10}}$

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