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相关试卷

1、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A、 $e^{\frac{π}{2} i}$ 的虚部为1 B、 $e^{\frac{3 π}{4} i} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $|e^{x i}| = |\cos x| + |\sin x|$ D、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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2、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B, C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧，若在 $B, C$ 处分别测量球体建筑物的最大仰角为 $60^{\circ}$ 和 $20^{\circ}$ ，且 $B C = 100 m$ ，则该球体建筑物的高度约为（） $(cos 10^{\circ} \approx 0.985)$

A、 $45.25 m$ B、 $50.76 m$ C、 $56.74 m$ D、 $58.60 m$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $T$ 是 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点.当 $P$ 与原点 $O$ 重合时， $△ A B T$ 面积为 $\frac{8}{9}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当 $P$ 异于 $O$ 点时，记直线 $B T$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求 $△ O P Q$ 周长的最小值.

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4、某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：
①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；
②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；
③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.
假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.

(1)、已知某一轮游戏中，记 $X$ 为甲乙两方抽牌次数之和.
（ⅰ）求 $P (X = 2)$ ；
（ⅱ）求 $P (X = 2 k)$ ， $k \in N *$ ；

(2)、为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - b$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a b$ 的最大值.

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6、如图，在棱长为1的正四面体 $A - B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ ， $G$ 分别在棱 $A D$ 和 $C D$ 上（不含端点），且 $F G / /$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A C / /$ 平面 $E F G$ ；

(2)、若 $F$ 为 $A D$ 中点，求平面 $E F G$ 截该正四面体所得截面的面积；

(3)、当直线 $E G$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ 时，求 $D G$ .

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1}$ ， 14， $a_{4}$ 成等差数列，且 $a_{5} = a_{2} a_{4}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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8、甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为.

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9、 ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是.(用数字作答)

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (2 x - 1) + f (3 - 2 x) = 2$ ，且 $f (x - 2)$ 为偶函数， $f (2) = 2$ ，则（）

A、 $f (x + 4) = f (x)$ B、 $f (2024) = 0$ C、 $f (3) + f (9) = 2$ D、 $\sum_{i = 1}^{25} f (i) = 25$

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11、已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点， $P$ 为其左支上一点，点 $A (0, - 6)$ ，则（）

A、双曲线的焦距为6 B、点 $F$ 到渐近线的距离为2 C、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为 $3 \sqrt{5} + 4$ D、若 $|P F| = 8$ ，则 $△ O P F$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$

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12、下列论述正确的是（）

A、样本相关系数 $r = 0$ 时，表明成对样本数据间没有线性相关关系 B、由样本数据得到的经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过中心点 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、用决定系数 $R^{2}$ 比较两个回归模型的拟合效果时， $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差 D、研究某两个属性变量时，作出零假设 $H_{0}$ 并得到2×2列联表，计算得 $χ^{2} \geq x_{0.05}$ ，则有 $95 %$ 的把握能推断 $H_{0}$ 不成立

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13、已知曲线 $C_{1}$ ： $y = x^{2}$ ，曲线 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} y = 0$ ，两曲线在第二象限交于点 $P$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在 $P$ 处的切线倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{2 π}{3}$ B、 $α + β = \frac{3 π}{4}$ C、 $α + β = \frac{5π}{4}$ D、 $|α - β| = \frac{π}{2}$

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14、若曲线 $y = (a x + 1) ln x$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e^{2}})$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(\frac{1}{e^{2}}, e^{2})$

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3}, - 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - 1)$ C、 $(1, - \sqrt{3})$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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16、某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\sqrt{2} π$

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17、已知直线 $m$ 和平面 $α$ ，则“ $m ⊄ α$ ”是“直线 $m$ 与平面 $α$ 无公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、设随机变量 $X \sim B (16, \frac{3}{4})$ ，则 $X$ 的数学期望为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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19、复数 ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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20、已知 $z_{1}, z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ B、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

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