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相关试卷

1、已知 $D$ 为 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上一点， $A D = 3 D C$ ， $A B = \sqrt{14}$ ， $∠ A D B = 2 ∠ D B C = \frac{π}{3}$ ，则 $\sin ∠ A B C =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 7) =$ ．

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 120^{°}$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 的对角线交点 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一个动点，下列结论正确的是（）

A、直三棱柱的侧面积是 $4 + 2 \sqrt{3}$ B、直三棱柱的外接球表面积是 $4 π$ C、三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积与点 $E$ 的位置无关 D、 $A E + E C_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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4、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ ，其部分图象如图所示，则下列关于 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{8})$ B、 $f (x)$ 在区间 $[π, 2 π]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度可以得到函数 $g (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x)$ 图象

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5、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C} ， |\vec{O A}| = |\vec{A B}| ，$ 则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a x + 1$ ，若 $f (- 3) = 8$ ，则不等式 $f (x) > \frac{1}{4}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{12}) \cup (0, \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{5}{12}, 0) \cup (0, \frac{1}{4})$ C、 $(- \infty, - \frac{5}{12}) \cup (\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \frac{5}{12}, 0) \cup (\frac{1}{4}, + \infty)$

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7、已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{2}$

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8、如图，一个水平放置的三角形 $A B O$ 的斜二测直观图是等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} O^{'}$ ，若 $B^{'} A^{'}$ = $B^{'} O^{'}$ =2，那么原三角形 $A B O$ 的周长是（）

A、 $4 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2} + 4$ D、 $4 \sqrt{2} + 8$

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9、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (6, 2)$ ，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(2, - 4)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(2, - \frac{1}{2})$ D、 $(- 2, \frac{1}{2})$

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10、下列说法错误的个数为（）
①已知 $X \sim N (10, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 8) = 0.9$ ，则 $P (8 \leq X \leq 12) = 0.8$
②已知 $X ~ B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = \frac{5}{3}, D (X) = 0.9$
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为 $\frac{1}{16}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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11、若 ${(x^{3} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为（）

A、10 B、210 C、252 D、463

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12、已知由样本数据点集合 $\{(x_{i}, y_{i}) ∣ i = 1, 2, \dots, 20\}$ 其中 $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 3$ ，求得的回归直线方程 $l_{1} : \hat{y} = 1.5 x + 0.5$ 记此模型对应的相关指数为 $R_{1}^{2}$ . 观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程 $l_{2} : \hat{y} = 1.2 x + \hat{a}$ ，记此模型对应的相关指数为 $R_{2}^{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、变量x与y正相关 B、记 $\bar{y} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} y_{i}$ ，则 $\bar{y} = 5$ C、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ D、 $\hat{a} = 1.4$

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13、英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时， $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{(3)} (0)}{3!} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \cdot \cdot \cdot$ ．注： $f^{″} (x)$ 表示 $f (x)$ 的2阶导数，即为 $f^{'} (x)$ 的导数， $f^{(n)} (x) (n \geq 3)$ 表示 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.

(1)、根据该公式估算 $sin \frac{1}{2}$ 的值，精确到小数点后两位；

(2)、由该公式可得： $cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdot \cdot \cdot$ ．当 $x \geq 0$ 时，试比较 $cos x$ 与 $1 - \frac{x^{2}}{2}$ 的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(n + k) tan \frac{1}{n + k}} > n - \frac{1}{4 n + 2}$ .

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P B = \sqrt{5}$ ，点 $M$ 在 $P D$ 上，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，且 $P B / /$ 平面 $M A C$ ．

(1)、证明： $C M / /$ 平面 $P A N$ ；

(2)、若 $P C = 3$ ，求平面 $P A N$ 与平面 $M A C$ 夹角的余弦值．

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15、如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔 $1 s$ 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，求 $5 s$ 后质点移动到点0的位置的概率；

(2)、记 $3 s$ 后质点的位置对应的数为 $X$ ，若随机变量 $X$ 的期望 $E (X) > 0$ ，求 $p$ 的取值范围．

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16、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面 $A B C$ 为锐角三角形，点D，H，E分别为棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $C_{1} A_{1}$ 的中点，且 $B C = 2 B_{1} C_{1} = 2$ ， $A C + A B = 4$ ；侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ ，则下列说法可能但不一定正确的是（）

A、该三棱台的体积最小值为 $\frac{7}{4}$ B、 $D H = \frac{\sqrt{11}}{2}$ C、 $V_{E - A D H} = \frac{1}{28} V_{A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}$ D、 $E H \in (\frac{3 \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{21}}{4})$

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17、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $l : y = x - \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 与 $E$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $\vec{O A} + \vec{O B} = (2 λ, - λ) (λ \neq 0)$ ．则椭圆 $E$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V, E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）

A、 $\frac{7}{24} V$ B、 $\frac{7}{17} V$ C、 $\frac{7}{15} V$ D、 $\frac{1}{2} V$

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19、已知向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 是平面上两个不共线的单位向量，且 $\vec{A B} = {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{B C} = - 3 {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{D A} = 3 {\vec{e}}_{1} - 6 {\vec{e}}_{2}$ ，则（）

A、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线 B、 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线 C、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线 D、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线

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20、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, 1)$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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