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相关试卷

1、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆C与直线 $y = x$ 相切于原点O．

(1)、求圆C的方程．

(2)、试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点 $F (4, 0)$ 的距离等于线段OF的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图，在圆台 $O O_{1}$ 中， $A_{1} B_{1}, A B$ 分别为上、下底面直径，且 $A_{1} B_{1} / / A B$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 为异于 $A A_{1}, B B_{1}$ 的一条母线．

(1)、若 $M$ 为 $A C$ 的中点，证明： $C_{1} M / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $O O_{1} = 3, A B = 4, ∠ A B C = 30 °$ ，求二面角 $A - C_{1} C - O$ 的正弦值．

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3、如图，在三棱锥 $P — A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $P B$ 、 $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $E F$ ∥平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $D$ 为棱 $P A$ 上一点，是确定点 $D$ 的位置，使得平面 $D E F$ ∥平面 $A B C$ ，并说明理由．

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4、已知直线 $l$ ： $a x - y + 4 = 0$ 及圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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5、（1）已知直线 $l_{1} : 2 x + 7 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} : m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，求 $m$ 的值；
（2）已知直线 $l_{1} : (a + 2) x + (1 - a) y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : (a - 1) x + (2 a + 3) y + 2 = 0$ 互相垂直，求 $a$ 的值．

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6、与直线 $x + y - 2 = 0$ 平行，且在 $y$ 轴上的截距为 $1$ 的直线方程是．

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $D - A_{1} C_{1} P$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[30 °, 90 °]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8、已知 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 3)$ ， $\vec{c} = (2, - 4, 6)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、 $\vec{b} // \vec{c}$ C、 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角 D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- 2, 0, - 2)$

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9、已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P C = A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，平面PAC⊥平面ABC．若点M为BC的中点，点N为三棱锥 $P - A B C$ 表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $20 π$ B、直线PC与AM所成的角 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ C、若 $A C ⊥ M N$ ，则点N的轨迹长度为 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若点N在棱AC上，则 $M N + N P$ 的最小值为2

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10、已知直线 $l$ 过点 $A (1,2)$ ， $B (3,4)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 2, 3) 、 B (3 ， 4 ， 5)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标为（）

A、 $(2 ， 3 ， 4)$ B、 $(1 ， 3 ， 4)$ C、 $(2 ， 3 ， 5)$ D、 $(2 ， 4 ， 5)$

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12、下列说法错误的是（）

A、 $0 \cdot \vec{0} = 0$ B、所有的单位向量的模均相等 C、零向量与任何向量共线 D、相等向量必为共线向量

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13、一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）

A、4次 B、6次 C、7次 D、50次

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14、如图，过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的左焦点 $F$ 引圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F T$ 交双曲线右支于 $P$ 点，若 $M$ 为线段 $F P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $| M O | - | M T | =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $2$

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15、函数 $f (x) = (3 x^{2} - 6 x + a + 3) e^{x}$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (x_{0})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 3$ D、 $a < 3$

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16、已知直线 $m x + 4 y - 2 = 0$ 与 $2 x - 5 y + n = 0$ 垂直，垂足为 $(1, p)$ ，则 $m - n + p$ 的值为（）

A、 $24$ B、 $20$ C、 $0$ D、 $- 10$

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17、已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $z_{1} \bar{z_{1}} = z_{2} \bar{z_{2}}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = z_{3}$ D、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$

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18、函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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19、已知①设函数 $y = f (x) (x \in A)$ 的值域是 $C$ ，对于 $C$ 中的每个 $y$ ，若函数 $g (y)$ 在每一处 $g (y)$ 都等于它对应的 $x$ ，这样的函数 $x = g (y) (y \in C)$ 叫做函数 $y = f (x) (x \in A)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y) (y \in C)$ ，我们习惯记自变量为 $x$ ，因此 $x = f^{- 1} (y) (y \in C)$ 可改成 $y = f^{- 1} (x) (x \in C)$ 即为原函数的反函数．易知 $y = f^{- 1} (x) (x \in C)$ 与 $y = f (x) (x \in A)$ 互为反函数，且 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ．如 $y = 2^{x}$ 的反函数是 $x = {log}_{2} y$ 可改写成 $y = {log}_{2} x$ 即为 $y = 2^{x}$ 的反函数， $y = {log}_{2} x$ 与 $y = 2^{x}$ 互为反函数．② $f (x)$ 是定义在 $D$ 且取值于 $D$ 的一个函数，定义 $f^{(0)} (x) = x, f^{(1)} (x) = f (x), f^{(2)} (x) = f \circ f = f (f (x)) ， \dots$ $f^{(n)} (x) = f \circ f \dots f = f f \dots f (x)$ ，则称 $f^{(n)} (x)$ 是函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的 $n$ 次迭代．例如 $f (x) = x + a$ ，则 $f^{(n)} (x) = x + n a$ ．对于一些相对复杂的函数，为求出其 $n$ 次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，若函数 $φ (x)$ 的反函数 $φ^{- 1} (x)$ 存在，且有 $f (x) = φ^{- 1} \circ g \circ φ (x)$ ，称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 关于 $φ (x)$ 相似，记作 $f \overset{φ}{\sim} g$ ，其中 $φ (x)$ 称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若 $f \overset{φ}{\sim} g$ ，则 $g \overset{φ^{- 1}}{\sim} f$
（ii）若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的一个不动点，即 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则 $φ (x_{0})$ 为 $g (x)$ 的一个不动点．

(1)、若函数 $f (x) = 2 x^{2}$ ，求 $f^{(n)} (x)$ （写出结果即可）

(2)、证明：若 $f \overset{φ}{\sim} g$ ，则 $f^{(n)} \overset{φ}{\sim} g^{(n)}$ ．

(3)、若函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，求 $f^{(n)} (x)$ （桥函数可选取 $φ (x) = x + 1$ ），若 $c (x) = x^{2} - 6 x + 12$ ，试选取恰当桥函数，计算 $c^{(n)} (x)$ ．

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20、某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下： $[0 ， 200), [200 ， 400), [400 ， 600), \dots, [1000 ， 1200]$ （单位：元），得到如图所示频率分布直方图：

活跃客户
非活跃客户
总计
男
20
$x$

女
$y$
60

总计

(1)、利用抽样的数据计算本次活动的人均消费金额（同一组中的数据用该组的中点值表示）

(2)、若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中 $x, y$ 的值，并根据列联表判断是否有 $95 %$ 的把握认为“活跃客户”与性别有关？

(3)、为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：
从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出总单金额 $Y$ 的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数．）
附：
$P (χ^{2} \geq k)$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
k	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

	活跃客户	非活跃客户	总计
男	20	$x$
女	$y$	60
总计