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相关试卷

1、已知角 $α$ 顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x - 5 \geq 0\}, B = \{x |a - 3 < x < a + 4\}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |a > 1\}$ B、 $\{a |1 < a < 2\}$ C、 $\{a |a < 2\}$ D、 $\{a |1 \leq a \leq 2\}$

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3、设 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{i + 1}{2 + i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、已知 $A_{m} = (\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, m} \end{matrix}) (m \geq 2)$ 是 $m^{2}$ 个正整数组成的 $m$ 行 $m$ 列的数表，当 $1 \leq i < s \leq m, 1 \leq j < t \leq m$ 时，记 $d (a_{i, j}, a_{s, t}) = |a_{i, j} - a_{s, j}| + |a_{s, j} - a_{s, t}|$ ．设 $n \in N^{*}$ ，若 $A_{m}$ 满足如下两个性质：
① $a_{i, j} \in \{1, 2, 3; \dots, n\} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, m)$ ；
②对任意 $k \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，存在 $i \in \{1, 2, \dots, m\}, j \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，使得 $a_{i, j} = k$ ，则称 $A_{m}$ 为 $Γ_{n}$ 数表．

(1)、判断 $A_{3} = (\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array})$ 是否为 $Γ_{3}$ 数表，并求 $d (a_{1, 1}, a_{2, 2}) + d (a_{2, 2}, a_{3, 3})$ 的值；

(2)、若 $Γ_{2}$ 数表 $A_{4}$ 满足 $d (a_{i, j}, a_{i + 1, j + 1}) = 1 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)$ ，求 $A_{4}$ 中各数之和的最小值；

(3)、证明：对任意 $Γ_{4}$ 数表 $A_{10}$ ，存在 $1 \leq i < s \leq 10, 1 \leq j < t \leq 10$ ，使得 $d (a_{i, j}, a_{s, t}) = 0$ ．

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5、已知函数 $f (x) = sin x + ln (1 + x) - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 2 π)$ 内极值点的个数；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $\sum_{i = n + 1}^{2 n} sin (\frac{1}{i - 1}) < 2 ln \frac{2 n - 1}{n - 1} - ln 2$ ， $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ .

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6、如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 $60 °$ ，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD．

(1)、若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD//平面EMC；

(2)、是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为 $60^{\circ}$ ？若存在，确定出M点位置；若不存在，请说明理由．

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7、某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款 $A p p$ 人数的满意度统计数据如下：
月份 $x$
1
2
3
4
5
不满意的人数 $y$
120
105
100
95
80

(1)、求不满意人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测该小区10月份对这款App不满意人数；

(2)、工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到下表：
根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为是否使用这款App与性别有关？

使用App
不使用App
女性
48
12
男性
22
18
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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8、假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理：如图，地面内有圆 $O_{1}$ ，其圆心在线段 $M B$ 上，且与线段 $M B$ 交于不与 $M, B$ 重合的点 $A$ ， $P M ⊥$ 地面，且 $B M = 2 P M = 4$ ， $P$ 点为人眼所在处，视网膜平面与直线 $B M$ 垂直. 过 $A$ 点作平面 $α$ 平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆 $O_{1}$ 上任意一点到 $P$ 点的直线与平面 $α$ 交点的轨迹（令为曲线 $C$ ）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线 $C$ 与圆 $O_{1}$ 在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆 $O_{1}$ 的影像为圆时，圆 $O_{1}$ 的半径 $r$ 为. 当圆 $O_{1}$ 的半径 $r$ 满足 $\frac{1}{2} \leq r \leq 1$ 时，视网膜平面上的圆 $O_{1}$ 的影像的离心率的取值范围为.

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9、二项式 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为.

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10、已知 $a_{n} = 2^{n}$ ， $b_{n} = 3 n - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列组成数列 $\{c_{n}\}$ ，则（）

A、 $c_{4} = 32$ B、 $\{c_{n}\}$ 为等比数列 C、数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} \in [1, 5)$ D、 $\sqrt{b_{1}}$ 、 $\sqrt{b_{2}}$ 、 $\sqrt{b_{3}}$ 不是任一等差数列的三项

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11、已知 $A, C$ 两点位于直线 $l$ 两侧， $B ， D$ 是直线 $l$ 上两点，且 $△ A B D$ 的面积是 $△ C B D$ 的面积的 2 倍，若 $\vec{A C} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{x} - s i n x) \vec{A B} + (1 + f (x)) \vec{A D}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有两个零点 D、 $f (x)$ 是周期函数

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12、在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 是正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 面内(包括边界)的动点，且满足 $∠ A P D = ∠ M P C$ ，则三棱锥 $P - B C D$ 的体积最大值是（）

A、36 B、24 C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{3}$

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13、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3}, π]$ 上恰有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3}, \frac{11}{3}] \cup (4, \frac{14}{3})$ B、 $[\frac{11}{3}, 4] \cup (\frac{14}{3}, \frac{17}{3})$ C、 $[\frac{11}{3}, \frac{14}{3}) \cup (5, \frac{17}{3})$ D、 $[\frac{14}{3}, 5] \cup (\frac{17}{3}, \frac{20}{3})$

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14、某医院购买一台大型医疗机器价格为 $a$ 万元，实行分期付款，每期付款 $b$ 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为 $5 ‰$ ，每月复利一次，则 $a$ ， $b$ 满足（）

A、 $12 b = a$ B、 $12 b = a {(1 + 5 ‰)}^{12}$ C、 $12 b = a (1 + 5 ‰)$ D、 $a < 12 b < a {(1 + 5 ‰)}^{12}$

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15、已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（）

A、2 B、 $\frac{13}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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16、若非空集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 满足： $A \cap C = C$ ， $B \cap C = D$ ，则（）

A、 $A \subseteq C$ B、 $D \subseteq A$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cap D = \emptyset$

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17、已知 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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18、如图．在锐角 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 边上一点， $A D$ = $3$ ，且 $sin B = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ， $cos ∠ A D C = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $A B$ 边的长；

(2)、若点D为边BC的中点，求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、若AD为 $∠ B A C$ 的平分线，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD， $B C = \frac{1}{2} A D$ ， E是PD的中点．

(1)、求证：BC∥AD；

(2)、求证：CE∥平面PAB．

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20、如图，已知圆锥的底面半径 $R = 6$ ，高 $h = 8$ ，过 $P O$ 上一点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)、若圆柱的底面半径 $r = 3$ ，求剩余部分体积；

(2)、试求圆柱侧面积的最大值.

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月份 $x$	1	2	3	4	5
不满意的人数 $y$	120	105	100	95	80

	使用App	不使用App
女性	48	12
男性	22	18

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828