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相关试卷

1、在复数域中，对于正整数 $n$ ，满足 $z^{n} - 1 = 0$ 的所有复数 $z = \cos \frac{2 k π}{n} + i \sin \frac{2 k π}{n} (k \in Z)$ 称为 $n$ 次单位根，若一个 $n$ 次单位根满足对任意小于 $n$ 的正整数 $m$ ，都有 $z^{m} \neq 1$ ，则称该 $n$ 次单位根为 $n$ 次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当 $n = 4$ 时存在四个 $4$ 次单位根 $\pm 1, \pm i$ ，因为 $1^{1} = 1$ ， ${(- 1)}^{2} = 1$ ，因此只有两个 $4$ 次本原单位根 $\pm i$ ，对于正整数 $n$ ，设 $n$ 次本原单位根为 $z_{1}, z_{2}, ..., z_{m}$ ，则称多项式 $(x - z_{1}) (x - z_{2}) (x - z_{3}) ... (x - z_{m})$ 为 $n$ 次本原多项式，记为 $f_{n} (x)$ ，规定 $f_{1} (x) = x - 1$ ，例如 $f_{4} (x) = (x - i) (x + i) = x^{2} + 1$ ，请回答以下问题.

(1)、直接写出 $8$ 次单位根，并指出哪些是 $8$ 次本原单位根（无需证明）；

(2)、求出 $f_{8} (x)$ ，并计算 $f_{8} (x) f_{4} (x) f_{2} (x) f_{1} (x)$ ，由此猜想 $f_{16} (x) f_{8} (x) f_{4} (x) f_{2} (x) f_{1} (x)$ （无需证明）；

(3)、设所有 $16$ 次本原单位根在复平面内对应的点为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, ..., A_{m}$ ，复平面内一点 $P$ 所对应的复数 $z$ 满足 $|z| = \sqrt[4]{3}$ ，求 $|\vec{P A_{1}}| \cdot |\vec{P A_{2}}| \cdot |\vec{P A_{3}}| \cdot ... \cdot |\vec{P A_{m}}|$ 的取值范围.

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2、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，已知 $∠ S A B = ∠ S A C = ∠ A C B = 90^{\circ}, A C = 2, B C = 4, S B = 5$ .

(1)、求三棱锥的体积 $V_{S - A B C}$ ；

(2)、求侧面 $S B C$ 与侧面 $S A B$ 所成的二面角的余弦值.

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3、已知函数 $f (x) = 2^{x} - m \cdot 2^{- x}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、对于任意的 $x \geq 0$ ，不等式 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) + 1 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (m, \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $m$ 和 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 所成的角是锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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5、已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD能够容纳的最大球的表面积为 $36π$ ，则正四面体ABCD的内切球的半径为．

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6、对于任意的 $θ \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}], 2 \cos (2 θ + \frac{2π}{3}) + a \sin θ + \sqrt{3} a \cos θ \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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7、若 $(m - 2 i) (1 - i)$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数 $m =$ ．

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8、如图，已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ，且 $0 < λ < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{B E}$ B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $\cos 〈 \vec{A E}, \vec{B E} 〉 = \frac{\sqrt{13}}{65}$ C、对任意 $λ \in (0, 1)$ ， $\vec{A E} ⊥ \vec{B E}$ 不成立 D、若 $\vec{A C} = x \vec{A E} + y \vec{B E}$ ，则 $- 2 < x y < 0$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点 $G$ 在上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ B、不存在点 $G$ ，使得直线 $A D_{1} / /$ 平面EFG C、三棱锥 $G - B E F$ 的体积不变 D、存在点 $G$ ，使得 $D G ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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10、已知球 $O$ 的半径 $R = 13$ ，球面上有三点A，B，C，满足 $A B = 12 \sqrt{3}, A C = B C = 12$ ，点 $D$ 在球面上运动，则当四面体 $D - A B C$ 的体积取得最大值时， $D C =$ （）

A、 $6 \sqrt{13}$ B、 $13 \sqrt{2}$ C、13 D、 $5 \sqrt{14}$

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11、若实数 $x > 2 y > 0$ ，则 $\frac{3 y}{x - 2 y} + \frac{x}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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12、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $x$ ，方差为 $s^{2}$ ，若样本数据 $a x_{1} + 2, a x_{2} + 2, a x_{3} +$ $2, \dots, a x_{n} + 2$ 的平均数为 $4 x (a > 0)$ ，方差为 $9 s^{2}$ ，则平均数 $x =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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13、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $C_{1} D_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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14、已知 $2 \cos 2 α + \sin α + 3 = 0$ ，则 $\sin α =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{4}{5}$

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15、已知向量 $\vec{m} = (1, 1), \vec{n} = (3, λ)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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16、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0\}, B = \{x| - 2 \leq x \leq 1, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[- 2, 1]$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (ln \frac{a}{2})$ ；
（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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18、已知函数 $f (x) = |x - \frac{3}{x} + 2| + m$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，求 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的值；

(2)、是否存在非零实数 $m$ ，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b] (0 < a < b)$ 上的取值范围为 $[\frac{2 m}{a}, \frac{2 m}{b}]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A B$ 为正三角形，且侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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20、已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

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