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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |0 < x^{2} < 5\}$ ， $B = \{x \in Z ||x - 1| < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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2、样本数据 $1, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ 的第30百分位数为（）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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3、（1）证明：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $x > sin x > x cos x$ ；
（2）当 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 时， $a {sin}^{2} x - x^{2} cos x \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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4、甲､乙口袋都有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲､乙口袋中各随机取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重复 $n$ 次这样的操作后，记甲口袋中恰有2个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $q_{n}$ .

(1)、求 $p_{1}, q_{1}$ ；

(2)、求 $p_{2}, q_{2}$ ；

(3)、求 $q_{n}$ .

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5、如图，在六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1} / / D D_{1}$ ，且底面 $A B C D$ 为菱形.

(1)、证明：四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为平行四边形.

(2)、若 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D, A A_{1} = C C_{1}, ∠ B A D = 60^{\circ}, D D_{1} = 5, A B = B B_{1} = 2$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的正弦值.

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6、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}, C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $P$ ，且 $|P F_{1}| = \sqrt{7} + 1, |P F_{2}| = \sqrt{7} - 1, P F_{1} ⊥ P F_{2}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的方程；

(2)、记 $C_{1}$ 的上顶点为 $A, C_{2}$ 的左顶点为 $B$ ，直线 $A B$ 与 $C_{1}$ 的另一个交点为 $D$ ，求 $|A D|$ .

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7、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a^{2} + b^{2} = a b + c^{2}, b c sin A = sin C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 外接圆的面积的最小值.

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8、已知关于 $x$ 的方程 $2 sin x + cos x = 1$ 在 $[0, 2 π)$ 内有2个不同的解 $α, β$ ，则 $cos (α - β) =$ .

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9、已知 $a > 1$ ，则 $lg a + {log}_{a} 100$ 的最小值为.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin (π x + \frac{π}{6}), x > 0 \\ 2^{x} + 1, x \leq 0 \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ .

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11、已知函数 $f (x) = |sin 2 x| + cos 4 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{5}{4}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{k π}{4} (k \in Z)$ 轴对称 D、当 $x \in [0, π]$ 时，函数 $g (x) = 16 f (x) - 17$ 有 $9$ 个零点

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12、设函数 $f (x) = x^{2} (x - 6)$ ，则（）

A、 $x = 4$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $f (x) + f (- x) \leq 0$ C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ D、当 $0 < x < 1$ 时， $f (4 + x) > f (4 - x)$

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13、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则（）

A、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = |2 \vec{a} + \vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ”是“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = |2 \vec{a} + \vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ”是“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的充分条件

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14、已知曲线 $C_{1} : y = \frac{1}{2} e^{x}$ 在点 $P$ 处的切线与曲线 $C_{2} : y = - \frac{e}{2 x} (x > 0)$ 在点 $Q$ 处的切线平行，且直线 $P Q$ 垂直于 $x$ 轴，则 $|P Q| =$ （）

A、e B、 $2 e$ C、 $3 e$ D、e或3e

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15、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, 0 < ω < 10, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、6

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16、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且 $f (\frac{1}{3}) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2} - 2} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \sqrt{2}, - \frac{1}{3}] \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \sqrt{2}) \cup [- \frac{1}{3}, 0) \cup [\frac{1}{3}, \sqrt{2})$ C、 $(- \sqrt{2}, - \frac{1}{3}] \cup \{0\} \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{2}) \cup [- \frac{1}{3}, 0] \cup [\frac{1}{3}, \sqrt{2})$

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17、如图， $O$ 为 $△ A B C$ 内一点， $D$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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18、已知命题 $p : \forall x \in R ， \sqrt{x^{2}} = x$ ，命题 $q : \exists x \in (0, π)$ ， $\tan x = sin x$ ，则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 C、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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19、记水的质量为 $\frac{S - 1}{ln n}$ ，则当 $S = 7, n = e^{3}$ 时，水的质量为（）

A、2 B、e C、2.1 D、3

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20、已知集合 $M = \{x |{(x - a)}^{2} = 1\} ， N = {1, 3}$ ，若 $M \subseteq N$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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