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相关试卷

1、已知曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ 和 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ ，点 $P, Q$ 分别在曲线 $C_{1}, C_{2}$ 上，记点Q的横坐标为 $x_{Q}$ ，则 $| P Q | + x_{Q}$ 的最小值是.

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2、已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $15, M$ 是空间中一点， $\vec{P M} = - \frac{1}{15} \vec{P A} + \frac{2}{15} \vec{P B} + \frac{4}{15} \vec{P C}$ ，则三棱锥 $A - M B C$ 的体积是.

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3、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上底面圆 $O_{1}$ 的半径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的半径为6，圆台的体积为 $104 π$ ，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则 $\frac{O O_{1}}{O O_{2}} =$ .

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{6} = 8$ ，则 $S_{7} =$ .

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5、已知直线 $l_{1} : x + y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + m y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m =$ .

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6、生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型： $N (t) = \frac{K N_{0}}{N_{0} + (K - N_{0}) e^{- r t}}$ ，其中 $N_{0}, r, K$ 是正数， $N_{0}$ 表示初始时刻种群数量，r表示种群的内秉增长率，K表示环境容纳量， $N (t)$ 近似刻画t时刻的种群数量.下面判断正确的是（）

A、如果 $N_{0} = \frac{K}{3}$ ，那么存在 $t > 0, N (t) = 2 N_{0}$ B、如果 $0 < N_{0} < K$ ，那么对任意 $t > 0, N (t) < K$ C、如果 $0 < N_{0} < K$ ，那么存在 $t > 0, N (t)$ 在t点处的导数 $N^{'} (t) < 0$ D、如果 $0 < N_{0} < \frac{K}{2}$ ，那么 $N (t)$ 的导函数 $N^{'} (t)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在最大值

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7、设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，且与圆 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切于 $M (x_{0}, y_{0})$ 点，M为线段 $A B$ 的中点（）

A、当 $y_{0} = 1$ 时，直线 $A B$ 的斜率为1 B、当 $y_{0} = 2$ 时，线段 $A B$ 的长为8 C、当 $r = 5$ 时，符合条件的直线 $l$ 有两条 D、当 $r = 3$ 时，符合条件的直线 $l$ 有四条

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8、如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 $E A B C D F$ ，且该八面体的各棱长均相等，则（）

A、平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ B、平面 $A D E ⊥$ 平面 $E B C$ C、直线 $A E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、平面 $A B E$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值是 $\frac{1}{3}$

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9、已知直线 $l : m x + y - m - 2 = 0 (m \in R)$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 交于 $A, B$ 两点，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(1, 2)$ B、线段 $A B$ 长的最大值为6 C、线段 $A B$ 长的最小值为4 D、 $△ A B O$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$

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10、已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 $2^{0}$ .接下来的两项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 $N$ ， $N > 50$ .且该数列的前 $N$ 项和为2的整数幂.那么 $N$ 是（）

A、83 B、87 C、91 D、95

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11、如图，将一个圆柱 $2 n (n \in N^{*})$ 等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（）

A、 $10 π$ B、 $20 π$ C、 $10 n π$ D、 $20 n π$

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12、直线 $x + (a^{2} + 1) y - 1 = 0 (a \in R)$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ D、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 0), \vec{b} = (1, - 1, \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{6}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{31}{32}$ D、 $\frac{63}{64}$

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左顶点为 $C$ ，过右焦点 $F$ 作直线与椭圆分别交于 $A, B$ 两点（异于左右顶点），连接 $A C, C B$ .

(1)、证明： $A C$ 与 $A F$ 不可能垂直；

(2)、求 $| A B |^{2} + | B C |^{2} + | C A |^{2}$ 的最小值；

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16、在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A C = 3, D C = 2 \sqrt{2}, ∠ D C A = 45^{\circ}, C B ⊥ A B, B C = B D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点 $E$ 为棱 $D C$ 上，若 $B C$ 与平面 $E A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ，求 $D E$ 的长；

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17、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $2 sin C = 3 sin (A - B)$ .

(1)、证明： $tan A = 5 tan B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5}{12} c^{2}$ ，求 $tan C$ ；

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18、某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动.

(1)、完成如下列联表（单位：人），并判断能否有 $99.5 %$ 的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联.
性别
课间进行体育活动情况
合计
不经常
经常
男
女
合计

(2)、以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (1 - x), f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $g (x) = f^{'} (x) + \frac{1}{3}, x \in R$ .若 $a_{n} = g (\frac{n}{2024})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2023项和为.

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20、 $P$ 是圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上一动点， $A (2, 0), Q$ 为 $A P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $|O Q|$ 的最大值为.

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性别	课间进行体育活动情况		合计
性别	不经常	经常	合计
男
女
合计

$α$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828