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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $y = k x$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $M, N$ 分别为 $A F, B F$ 的中点，若 $O M ⊥ O N$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$

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2、已知公比为 $q$ 的正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}, a_{7} = 1$ ，则（）

A、 $a_{1} a_{14} = q$ B、当 $0 < q < 1$ 时， $T_{7} > 1$ C、 $T_{13} = 1$ D、当 $q > 1$ ，且 $T_{n}$ 取得最小值时， $n$ 只能等于6

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3、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个单位正交基底，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2} |\vec{c}|$ B、 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底 C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 1$ D、 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} - \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底

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4、若直线 $l_{1} : y = 5 x + 2, l_{2} : y = - 0.2 x + 1, l_{3} : y = 5 x - 1$ ，则（）

A、 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $l_{1} ⊥ l_{3}$ D、 $l_{1}$ $∥$ $l_{3}$

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5、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{n} - \frac{y^{2}}{n^{2} + n} = 1 (n \in N^{*})$ 的离心率为 $a_{n}$ ，当 $m < 1000$ 时，在数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{m}$ 为有理数的 $m$ 的最大值为（）

A、959 B、960 C、961 D、963

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ 满足 $\vec{P B} = 4 \vec{P D}, \vec{C D} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A P}$ ，则 $x - y + z =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{7}{4}$

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7、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 2^{a_{n + 1}} - n^{2}, a_{1} = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、1 B、 ${log}_{2} 3$ C、 $\sqrt{5}$ D、 ${log}_{2} 5$

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8、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{m} = (1, 1, - 1)$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量，且 $\vec{C D} = (0, 3, 4)$ ，则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{20}$

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9、椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{14} = 1$ 的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{14}$ B、4 C、 $6 \sqrt{2}$ D、2

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10、已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（）

A、4 B、－4 C、8 D、－8

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11、函数 $f (x) = [x]$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．

(1)、当 $x \in (0, 3)$ 时，求满足 $f (x) = \log_{\sqrt{2}} x$ 的实数 $x$ 的值；

(2)、函数 $g (x) = 3 + \frac{1}{\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{x} + 1) + 1}$ ，求满足 $f (4 x^{2} - 10 x + f (x + 8)) = f (g (x))$ 的实数 $x$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ ，且 $f (1) + f (- 1) = \frac{5}{2}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x) + k f (x)$ ，若方程 $g (x) + g (- x) + 10 = 0$ 有 $4$ 个不相等的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，求 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + f (x_{4})$ 的取值范围．

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13、丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量 $φ (x)$ （单位：千克）与单株施肥量 $x$ （单位：千克）之间的关系为 $φ (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 32 & , 0 \leq x \leq 3 \\ 45 - \frac{4}{x - 2} & , 3 < x \leq 6 \end{array}$ ，且单株投入的年平均成本为 $10 x$ 元．若这种水果的市场售价为 $10$ 元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？

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14、已知函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x \cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若方程 $f (x) = - 1$ 在区间 $[0, m]$ 上恰有一个解，求 $m$ 的取值范围．

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15、已知 $α$ 为锐角， $\cos α = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $\sin (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\sin β$ 的值．

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16、若函数 $f (x) = m^{2} x^{2} - 4 m x - \sqrt{x} - 8 m + 4$ 在区间 $[0, 16]$ 内有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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17、若函数 $f (x) = \log_{3} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 4 y - x y = 0$ ，则 $\frac{3}{x + y}$ 的最大值为．

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19、化简 $\frac{\sin (\frac{3π}{2} - α) \tan (α - 3π)}{\cos (α + \frac{π}{2})} =$ ．

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20、若幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 的图象不经过原点，则实数 $m$ 的值是．

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