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相关试卷

1、19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数 $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 是有理数 \\ 0, x 是无理数 . \end{array}$ 若函数 $f (x) = D (x) - x^{2}$ ，则下列实数中不属于函数 $f (x)$ 值域的是（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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2、函数 $f (x)$ 满足若 $f (g (x)) = 9 x + 3 ， g (x) = 3 x + 1$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $f (x) = 3 x$ B、 $f (x) = 3$ C、 $f (x) = 27 x + 10$ D、 $f (x) = 27 x + 12$

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3、已知动圆过点 $A (- 1, 0)$ ，并且在圆 $B : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C ， A C = B C = 2 ，$ D是AC中点， E、F分别是BA、BC边上的动点，且 $E F / / A C$ 将 $△ B E F$ 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A C ；$

(2)、若 $B E = 2 A E$ ，二面角 $P - E F - C$ 是直二面角，求二面角 $P - C E - F$ 的正切值：

(3)、当 $P D ⊥ A E$ 时，求直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．

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5、袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有 $4$ 个，编号分别为 $3, 4, 5, 6$ ，不放回地随机摸出两个球.

(1)、写出实验的样本空间；

(2)、记事件 $A$ 为“摸出的两个球中有红球”，求事件A发生的概率；

(3)、记事件 $M$ 为“摸出的两个球全是白球”，事件 $N$ 为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求 $P (M)$ 和 $P (N)$ ，判断事件 $M, N$ 是否相互独立.

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6、记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则 $a - b$ = ．

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7、直线l过点 $P (1, 3)$ 且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点， $A (- 1, - 4)$ ， $B (2, - 3)$ ，则k可以取（）

A、－8 B、－5 C、3 D、4

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (2, y), (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则（）

A、 $\vec{b} = (2, - 3)$ B、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ C、 $|\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}| = \sqrt{7}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, 2)$

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9、某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A、频率分布直方图中a的值为0.07 B、这100名学生中体重低于60kg的人数为60 C、据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62 D、据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5

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10、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ .点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 所构成的曲线为 $C$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、在 $C$ 上存在点 $D$ ，使得 $D$ 到点 $(1, 1)$ 的距离为3 C、在 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M O | = 2 | M A |$ D、 $C$ 上的点到直线 $3 x - 4 y - 13 = 0$ 的最小距离为1

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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12、若方程 $x^{2} + y^{2} - x + y + 2 m = 0$ 表示圆，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty, - 1)$

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13、学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（）

A、88分 B、84分 C、85分 D、90分

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14、定义：如果函数 $y = f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a, b]$ 上存在实数 $x_{0} (a < x_{0} < b)$ ，满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，那么称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的一个均值点.例如 $y = |x|$ 是区间 $[- 2, 2]$ 上的“平均值函数”，0是它的均值点.

(1)、已知函数 $y = f_{1} (x)$ 、 $y = f_{2} (x)$ ，判断 $f_{1} (x) = x^{4}$ 、 $f_{2} (x) = sin x - 1$ 是否为区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的“平均值函数”，并说明理由；

(2)、设 $g (x) = k x^{2} + x - 4$ 是区间 $[- 2, t]$ 上的“平均值函数”，1是函数 $y = g (x)$ 的一个均值点，求所有满足条件的整数数对 $(k, t)$ ；

(3)、若 $h (x) = ln x$ 是区间 $[a, b] (1 \leq a < b)$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的一个均值点，求证： $ln x_{0} < \frac{1}{\sqrt{a b}}$ .

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 m x + m^{2}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有三个不相等的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $f (x)$ 在点 $(x_{i}, f (x_{i}))$ 处切线的斜率为 $k_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，求 $m$ 的取值范围及 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{1}{k_{3}}$ 的值.

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16、如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3, 1)$ ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ；斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $P$ 的 $M$ ， $N$ 两点，且直线PM，PN均不与 $x$ 轴垂直.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{10}$ ，求MN的方程；

(3)、记直线PM的斜率为 $k_{1}$ ，直线PN的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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17、在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.
男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
10
合计
100

(1)、将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；

(2)、该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 $\frac{4}{5}$ ；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ ， $a_{n} = 1 + \frac{1}{2 n - 9}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 的最大项和最小项分别是 $\{b_{n}\}$ 中的 $b_{2} - 1$ 和 $b_{3} - 9$ 的值．

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\ln x|, 0 < x \leq e \\ 2 - \ln x, x > e \end{array}$ ，若 $a, b, c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + \frac{e^{2}}{c}$ 的范围是．

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20、已知 $2 a + b = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则 $\frac{3}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为．

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	男生	女生	合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐	10
合计			100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828