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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形，O为线段 $A D$ 的中点且 $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， E是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、点M为棱 $P C$ 的中点，求平面 $M A B$ 与平面 $A B D$ 夹角的余弦值.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ．

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、射线 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $B$ ，且 $|A B| = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A B F_{2}$ 的周长．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且 $\vec{A P}$ 与 $\vec{A B} 、 \vec{A D}$ 的夹角都等于 $60^{\circ}, M$ 在棱PD上， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}, \vec{A P} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求 $\vec{B M}$ 与 $\vec{A P}$ 的夹角.

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4、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率e满足 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (10 > m > 0)$ 是“黄金椭圆”，则 $m =$ ；“黄金椭圆” $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ （ $c > 0$ ），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，连接PM并延长交 $F_{1} F_{2}$ 于N，则 $\frac{|P M|}{|M N|} =$ ．

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5、当点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 的距离最大时，此时的直线 $l$ 方程为.

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6、若平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2, 1, 1)$ ，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，则平面 $α$ 与直线 $l$ 所成角的正弦值为．

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7、已知动点 $P$ 到定点 $F (4, 0)$ 的距离和它到直线 $l : x = \frac{25}{4}$ 的距离的比是常数 $\frac{4}{5}, P$ 点的轨迹称为曲线 $C$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 取曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点．则下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{4}{|B F|}$ 的最小值为1 C、 $O$ 为坐标原点， $|P O| + \frac{5}{4} |P F|$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$ D、 $M$ 为曲线 $C$ 上不同于 $A, B$ 的一点，且直线 $M A 、 M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{9}{25}$

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8、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $A B$ 为过点 $F_{1}$ 的弦， $M$ 为 $A F_{1}$ 的中点， $3 \vec{A F_{1}} = 4 \vec{F_{1} B}$ ， $A B ⊥ M F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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9、已知直线 $l_{1} : 2 x + 5 y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 是直线 $l_{1}$ 绕点 $(- 1, 0)$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到的直线，则直线 $l_{2}$ 的方程是（）

A、 $3 x - 7 y + 3 = 0$ B、 $3 x - 7 y - 3 = 0$ C、 $7 x - 3 y + 3 = 0$ D、 $7 x - 3 y - 3 = 0$

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10、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D, A D = D C = B C = 2$ ， $A B = A_{1} A = 4, E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $E D B_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$

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11、已知圆 $M$ 经过 $P (1, 1), Q (2, - 2)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，则圆 $M$ 的标准方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 13$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

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12、已知 $M (4, 2)$ 是直线l被椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ 所截得的线段 $A B$ 的中点，则直线l的方程为（）

A、 $2 x + y - 8 = 0$ B、 $x + 2 y - 8 = 0$ C、 $x - 2 y - 8 = 0$ D、 $2 x - y - 6 = 0$

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13、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $(7, \sqrt{2}, 1)$ 关于平面 $O y z$ 的对称点（）

A、 $(- 7, \sqrt{2}, 1)$ B、 $(7, - \sqrt{2}, - 1)$ C、 $(7, 1, \sqrt{2})$ D、 $(- 7, 1, \sqrt{2})$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 的两条直线 $E F, M N$ 分别与椭圆C交于 $E, F, M, N$ 四点，且直线 $O E, O M$ 斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求证：四边形 $E M F N$ 的面积为定值.

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求点 $A_{1}$ 到平面 $B C M$ 的距离.

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16、已知圆C过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (0, 6)$ .并且圆心在直线 $y - 2 = 0$ 上，点 $P (4, 8)$ ，过点P作圆C的切线l.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、求切线l的方程.

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17、已知直线 $l : (2 + m) x + (m - 1) y - 3 m = 0 (m \in R)$ .

(1)、求原点到直线l距离的最大值：

(2)、若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当 $△ A B O$ 面积最小时，求对应的直线l的方程.

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18、如图，在棱长为6的正四面体 $O - A B C$ 中， $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，点E为AD的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ：

(2)、求OE的长.

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点是 $F$ ，直线 $y = k x$ 交椭圆于 $A, B$ 两点﹐直线 $A F$ 与椭圆的另一个交点为 $C$ ，若 $\frac{|O A|}{|O F|} = \frac{|A F|}{2 |C F|} = 1$ ，则椭圆的离心率为．

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20、设 $a \in R$ ，若直线 $2 x + y - 3 = 0$ 与直线 $2 x + y + a = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，则 $a$ 的值为．

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