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相关试卷

1、已知直线 $l : k x - y + k = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 的最大值为5 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $x_{0} + y_{0}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离最大为4

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2、已知随机事件A、B，若 $P (\bar{A} B) = P (A \bar{B}) = 0.25$ ，且 $P (A \cup B) = 0.5$ ，则正确的是（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、A、B为互斥事件 C、A、B相互独立 D、 $P (B) = 0.25$

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3、已知直线 $l : x - a y - 1 = 0$ 与 $⊙ C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，设弦 $A B$ 的中点为 $M, O$ 为坐标原点，则 $|O M|$ 的取值范围为（）

A、 $[3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{3} - 1, \sqrt{3} + 1]$ C、 $[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1]$

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4、 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A, 6 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形（非等边） B、直角三角形 C、正三角形 D、钝角三角形

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5、已知空间中的点 $A (1, 1, 1), B (5, 4, 13), C (2, 2, 2)$ ，则 $C$ 到直线AB的距离为（）

A、 $\frac{19}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{146}}{13}$ C、 $\frac{12 \sqrt{3}}{13}$ D、2

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6、现有质地相同的6个球，编号为 $1 - 6$ ，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7、与椭圆 $9 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ 有相同焦点，且满足短半轴长为 $2 \sqrt{5}$ 的椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{45} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{80} + \frac{y^{2}}{85} = 1$

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8、已知m，n是两条不同直线， $α, β, γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A、 $m / / n, n \subset α \Rightarrow m / / α$ B、 $m / / α, m / / β \Rightarrow α / / β$ C、 $m ⊥ α, n ⊥ α \Rightarrow m / / n$ D、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ \Rightarrow α / / β$

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9、若直线 $a x + 2 y = 0$ 与直线 $x + (a + 1) y + (a^{2} - 1) = 0$ 平行，则 $a$ 的值是（）

A、1或 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $2$ 或 $- 1$

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10、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形，平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ， $D E ⊥ C D$ ， $D E = 3 A F = 3 \sqrt{6}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值；

(3)、线段 $C E$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $A P //$ 平面 $B E F$ ？若存在，指出点 $P$ 的位置并证明；若不存在，请说明理由.

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11、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 7$ ， $b = 8$ ， $\cos B = \frac{1}{7}$ ，则 $∠ A$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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12、在底面是菱形的四棱锥 $S - A B C D$ 中，已知 $A B = A S = \sqrt{5}$ ， $B S = 4$ ，过 $D$ 作侧面 $S A B$ 的垂线，垂足 $O$ 恰为棱 $B S$ 的中点.

(1)、求平面 $S B C$ 与平面 $O S D$ 夹角的余弦值

(2)、在棱 $A D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $S B C$ ，若存在求 $D E$ 的长；若不存在，说明理由.

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A B E$ 的距离.

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14、成都市海关对同时从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取5件样品进行检测.
地区
$A$
$B$
$C$
数量
50
50
150

(1)、求这5件样品中来自 $A$ ， $B$ ， $C$ 各地区商品的数量；

(2)、若在这5件样品中随机抽取3件送往甲机构进行进一步检测，求这3件商品并非全选自同一地区的概率.

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15、（本题要求必须使用向量法）如图在边长是2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求直线 $E F$ 与直线 $C D_{1}$ 所成角的大小.

(2)、求证： $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ .

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16、已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为 $\frac{1}{5}$ .
（1）求m的值；
（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率.

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17、已知 $a \in {0, 1, 2}, b \in {- 1, 1, 3, 5}$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} - 2 b x$ 在区间(1，+∞)上为增函数的概率为.

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18、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 B、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角为 $60 °$ C、直线 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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19、某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（）

A、两人均获得满分的概率为 $\frac{1}{2}$ B、两人至少一人获得满分的概率为 $\frac{7}{12}$ C、两人恰好只有甲获得满分的概率为 $\frac{3}{4}$ D、两人至多一人获得满分的概率为 $\frac{11}{12}$

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20、概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过试验和观察的方法可以得到试验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件 $A =$ “一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：
序号
$n = 20$
$n = 100$
$n = 500$
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有（）

A、试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性； B、试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越少越好； C、随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近； D、我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率．

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序号	$n = 20$		$n = 100$		$n = 500$
序号	频数	频率	频数	频率	频数	频率
1	12	0.6	56	0.56	261	0.522
2	9	0.45	50	0.55	241	0.482
3	13	0.65	48	0.48	250	0.5
4	7	0.35	55	0.55	258	0.516
5	12	0.6	52	0.52	253	0.506

地区	$A$	$B$	$C$
数量	50	50	150