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相关试卷

1、 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $\forall a$ ， $b \in [- 1, 1]$ ， $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并证明你的结论；

(2)、若 $m^{2} - 5 m t - 6 \leq f (x)$ 对 $\forall x \in [- 1, 1]$ ， $\forall m \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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2、已知集合 $A = \{x| m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ，函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 的定义域为 $B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、计算求值：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + {(3 - 2 \sqrt{2})}^{0} - {(\frac{81}{16})}^{\frac{1}{4}} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - π)}^{4}}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ ，求 $\frac{x + x^{- 1}}{x^{2} + x^{- 2} - 2}$ 值.

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4、已知 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 2, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - a f (x) - 1$ 有5个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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5、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} + \lg (x - 2)$ 定义域为．

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6、指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知 $U$ 为全集且元素个数有限，对于 $U$ 的任意一个子集 $S$ ，定义集合 $S$ 的指示函数 $1_{S} (x)$ ， $1_{S} (x) = \{\begin{cases} 1, x \in S \\ 0, x \in ∁_{U} S \end{cases}$ ，若 $A$ ， $B \subseteq U$ ，则（）
注： $\sum_{x \in M} f (x)$ 表示 $M$ 中所有元素 $x$ 所对应的函数值 $f (x)$ 之和（其中 $M$ 是 $f (x)$ 定义域的子集）.

A、 $1_{A \cap B} (x) \leq 1_{A} (x) \leq 1_{A \cup B} (x)$ B、 $\sum_{x \in A} 1_{A} (x) < \sum_{x \in U} 1_{A} (x)$ C、 $\sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x) = \sum_{x \in U} (1_{A} (x) + 1_{B} (x) - 1_{A} (x) 1_{B} (x))$ D、 $\sum_{x \in U} (1 - 1_{A} (x)) (1 - 1_{B} (x)) = \sum_{x \in U} 1_{U} (x) - \sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x)$

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7、已知 $a$ ， $b$ 均为正实数，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ B、 $\frac{b + 1}{a + b + 1} > \frac{b}{a + b}$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \geq \sqrt{a b}$ D、 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 2} \geq \sqrt{a} + \sqrt{a + 3}$

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8、下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

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9、已知函数 $f (x) = \ln (e^{2 x} + e^{2}) - x$ ，若 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则（）

A、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 2 > 0$ B、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 2 < 0$ C、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 4 > 0$ D、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 4 < 0$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x (e^{x} - e^{- x})}{|x| - 1}$ ，则 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1200万台（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）（）

A、2028 年 B、2029年 C、2030年 D、2031年

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12、已知 $x \geq 0$ ， $y > 2$ ，且 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y - 2} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、9

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13、已知幂函数 $f (x) = (- 2 m^{2} + m + 2) x^{m + 1}$ 为偶函数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

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14、下列关于 $x$ ， $y$ 的关系式中，能表示 $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 $x + |y| = 1$ B、 $x^{2} + y^{2} = 1$ C、 $2 x^{2} + y = 1$ D、 $2 x + y^{2} = 1$

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15、集合 $U = \{x \in N| 1 \leq x \leq 6\}$ ， $A = \{3, 4, 5\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 6\}$ D、 $\{1, 2, 6\}$

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16、已知点 $P (1, 3)$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ .直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于A、B两点， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、①若线段AB的中点为 $D$ ，求点 $D$ 的轨迹方程 $C$ ；
②过点 $P$ 作直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于两点M、N，设 $Q (1, 0), Q M 、 Q N$ 的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D, P D = D C, E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求平面 $C P B$ 与平面 $P B D$ 的夹角的大小．

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18、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (1, 1)$ ，边 $A C$ 上的高 $B H$ 所在直线的方程为 $x - y + 8 = 0$ ，边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线的方程为 $5 x - 3 y - 10 = 0$ ．

(1)、求直线 $A C$ 的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19、已知直线 $l$ 过定点 $P (- 2, - 3)$

(1)、若 $Q (1, 3)$ 到直线 $l$ 的距离为 $3$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴的负半轴交于 $A, B$ 两点，求 $△ A B O$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值及此时直线 $l$ 的方程.

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20、阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{m} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w}$ .根据上述材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x - y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是两个平面 $x - y + 2 = 0$ 与 $2 x - z + 1 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的余弦值为.

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