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1、数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边.若 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{1}{\tan C}$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2、下列命题错误的是（）

A、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq a b$ B、若 $a + b = 1$ ，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若 $a > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a - 1} \geq 2$ D、若 $|x - 2| + |x + 3| \geq 5$ ，则当且仅当 $x \in (- \infty, - 3] \cup [2, + \infty)$ 时，等号成立

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3、若幂函数 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则满足条件的实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、4

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4、若实数 $a, b$ 满足 $a > 0 > b$ ，则（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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5、已知定义在 $(- 3, 3)$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} > 0$ 的解集为.

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6、函数 $y = |x - 1| + |x|, x \in [a, 2]$ 的最大值为3，则 $a$ 的取值范围为.

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7、若将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 $φ =$ ．

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8、若“ $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ”是“ $x < a$ ”的充分条件，则 $a$ 的最小值为.

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9、设 $f (x)$ 是以2为周期的函数，且当 $x \in [1,3)$ 时， $f (x) = x - 2$ 则 $f (- 1) =$ .

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10、设集合 $\{x | x^{2} + 2 x + a = 0\}$ 有且只有两个子集，则 $a =$ .

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11、设 $a$ 是实数，若函数 $y = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ .

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12、函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) + 1$ 的单调递增区间是.

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13、已知 $k > 0$ ，函数 $y = \sin (k x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是 $π$ ，则正数 $k$ 的值为.

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14、函数 $y = x^{2} + x$ 在 $x = 1$ 处的导数是.

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15、已知全集 $I = R$ ，集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {x |x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ .

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16、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足：① $b_{n} \in N^{*}$ ；②当 $b_{n}$ 为奇数时， $b_{n + 1} - b_{n} = 3$ ；③当 $b_{n}$ 为偶数时， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{1}{2}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 具有“收缩性质”.已知数列 $\{a_{n}\}$ 具有“收缩性质”.

(1)、若 $a_{4} = 1$ ，求 $a_{1}$ 的值构成的集合；

(2)、若 $\exists m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m} = 3 k (k \in N^{*})$ ，证明： $\forall n \in N^{*}, \frac{a_{n}}{3}$ 为整数；

(3)、若 $\exists p \in N^{*}, \forall n \in N^{*}, a_{n + p} = a_{n}$ ，求 $a_{1}$ 的值构成的集合.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + sin 2 C$ ， $0 < C < \frac{3 π}{4}$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $3 b + 4 \sqrt{2} c$ 的最大值；

(3)、若 $a c = 2 \sqrt{10}$ ，且 $\frac{sin C}{sin B} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}), (1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知过点 $M (- 1, 1)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|M A| \cdot |M B| = \frac{10}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - (λ + 3) x + λ ln x$ .

(1)、若 $λ = - 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 为矩形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ S A D$ 为等腰直角三角形， $E$ 为棱 $S D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $S C D$ ；

(2)、若 $S A = A B = 2$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值.

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