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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $a, b \in [- 1, 1]$ ， $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ .
（1）判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若 $f (x) \leq m^{2} - 5 m t - 5$ 对所有 $x \in [- 1, 1]$ ， $t \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x - a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 6$ ；

(2)、若 $\exists x_{0} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{0}) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、解不等式 ${log}_{2} |f (x)| \leq - 1$ .

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} k x + 7, x < - 2 \\ a x^{2} - 3, - 2 \leq x < 3 \\ - 2 x + 12, x \geq 3 \end{cases}$ ，其中 $f (f (8)) = - 5$ ， $f (- 1) = - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知方程 $f (x) = 1$ 的解集.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x, x < 0 \end{matrix}$ ，若关于x的不等式 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) < 0$ 恰有1个整数解，则实数a的最大值是．

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的奇函数，且 $f (- 2) = 0$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为

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7、已知函数f(x)＝ $\frac{x^{2} + 2 x + a}{x}$ ，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是．

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8、计算： ${(\frac{3}{2})}^{- 2} {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} + 2^{{log}_{2} \sqrt{3}} + lg \frac{1}{4} - lg 25 =$ .

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9、已知连续函数 $f (x)$ 满足：① $\forall x, y \in R$ ，则有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 1$ ， ②当 $x > 0$ 时， $f (x) < 1$ ， ③ $f (1) = - 2$ ，则以下说法中正确的是（　　）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (4 x) = 4 f (x) - 4$ C、 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值是10 D、不等式 $f (3 x^{2}) - 2 f (x) > f (3 x) + 4$ 的解集为 $\{x | \frac{2}{3} < x < 1\}$

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10、德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” $y = f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ 其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集．则关于函数 $f (x)$ 有如下四个命题，正确的为（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $f (- x) + f (x) = 0$ B、对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1})$ C、若 $a <0$ ， $b > 1$ ，则有 $\{x| f (x) > a\} = \{x| f (x) < b\}$ D、存在三个点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $C (x_{3}, f (x_{3}))$ ，使 $△ A B C$ 为等腰直角三角形

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11、下列叙述正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $\frac{x + 1}{\sqrt{x}} \geq 2$ B、当 $x >4$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 C、函数 $y = 2 + x + \frac{1}{x} (x < 0)$ 的最大值是0 D、函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 在区间 $[3, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 9]$

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12、下列函数既是偶函数，又在区间 $(- \infty, 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{5}}$ B、 $y = 3^{|x|}$ C、 $y = lg (x^{2} + 1)$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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13、函数 $f (x) = {log}_{a} (2 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A (m, n)$ ，若对任意正数 $x$ 、 $y$ 都有 $m x + n y = 4$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{39}{22}$ C、 $1$ D、 $\frac{4}{3}$

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14、已知 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} + 2 x^{2} - 3$ ，则不等式 $f (3 - 2 x) > f (x + 2)$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (5, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, 5)$

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15、如图，点 $O$ 为坐标原点，点 $A (1, 1)$ ，若函数 $y = a^{x} (a > 0, 且 a \neq 1)$ 及 $y = \log_{b} x$ 的图象与线段 $O A$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，且 $M$ ， $N$ 恰好是线段 $O A$ 的两个三等分点，则 $a$ ， $b$ 满足．

A、 $a < b < 1$ B、 $b < a < 1$ C、 $b > a > 1$ D、 $a > b > 1$

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16、“函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (3 - a x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上单调递增”的充分必要条件是（）

A、 $a \in (0, + \infty)$ B、 $a \in (0, 1)$ C、 $a \in (0, \frac{3}{2})$ D、 $a \in (0, \frac{3}{2}]$

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17、集合 $A = \{x |y = ln (5 - x)\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}\}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $\{(x, y) |\{\begin{cases} x < 5 \\ y \leq 0 \end{cases}\}$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(0, 5)$

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18、“ $n = 1$ ”是“幂函数 $f (x) = (n^{2} - 3 n + 3) \cdot x^{n^{2} - 3 n}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数”的一个（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知直线 $l$ ： $4 x + 3 y + 6 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0$ 相交于 $E$ ， $F$ 两点，则（）

A、圆心 $C$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、圆 $C$ 的半径为 $2 \sqrt{2}$ C、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为2 D、 $|E F| = 2 \sqrt{5}$

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20、已知 $\vec{a} = (3, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 2)$ ，当 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ 时，实数 $k$ 的值为．

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