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相关试卷

1、对于四个正数m、n、p、q，若满足 $m q < n p$ ，则称有序数对 $(m, n)$ 是 $(p, q)$ 的“下位序列”．

(1)、对于2、3、7、11，有序数对 $(3, 11)$ 是 $(2, 7)$ 的“下位序列”吗？请简单说明理由；

(2)、设a、b、c、d均为正数，且 $(a, b)$ 是 $(c, d)$ 的“下位序列”，试判断 $\frac{a}{b}$ 、 $\frac{c}{d}$ 、 $\frac{a + c}{b + d}$ 之间的大小关系；

(3)、设正整数n满足条件：对集合 $\{m |0 < m < 2024, m \in N\}$ 内的每个m，总存在正整数k，使得 $(m, 2024)$ 是 $(k, n)$ 的“下位序列”，且 $(k, n)$ 是 $(m + 1, 2025)$ 的“下位序列”，求正整数n的最小值．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别是侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 的中点， $A B ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、如果 $A_{1} C = B_{1} C$ ， $A B = B C = 4$ ，求二面角 $A_{1} - B B_{1} - C$ 的余弦值.

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (λ, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，若向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (\frac{1}{2}, 0)$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、1

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4、若复数z满足 $(1 - 3 i) z = 3 - i$ （i为虚数单位），则z的模 $|z| =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、1 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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5、若直线 $(m^{2} - 6) x + 3 y = m$ 与直线 $x + y = 1$ 平行，则（）

A、 $m = 3$ 或 $- 3$ B、 $m = - 3$ C、 $m = 3$ D、 $m = \sqrt{3}$ 或 $- \sqrt{3}$

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6、下列函数的最小值为2的有（）

A、 $y = x^{2} - 2 x + 2, x \in [0, 8]$ B、 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}, x \in (1, 4]$ C、 $y = \frac{1}{4 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}, x \in (0, \frac{1}{2})$ D、 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}, x \in R$

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7、某种商品原来每件售价为 $25$ 元，年销售 $8$ 万件．

(1)、据市场调查，若价格每提高 $1$ 元，销售量将相应减少 $2000$ 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？

(2)、为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到 $x$ 元，公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元作为技改费用，投入 $50$ 万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量 $a$ 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 $?$ 并求出此时每件商品的定价．

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8、如果向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 2, - 3)$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9、定义集合运算 $A ⊙ B = \{z |z = {(x + y)}^{2}, x \in A, y \in B\}$ ，若集合 $A = \{- 1, 1\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，则集合 $A ⊙ B$ 所有元素之和为．

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10、命题“ $\exists x > 0, x^{2} > x^{3}$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0, x^{2} > x^{3}$ B、 $\forall x > 0, x^{2} \leq x^{3}$ C、 $\forall x \leq 0, x^{2} \leq x^{3}$ D、 $\exists x > 0, x^{2} \leq x^{3}$

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11、设 $α$ ， $β$ 是方程 $\lg^{2} x - \lg x - 3 = 0$ 的两根，则 $\log_{α} β + \log_{β} α =$ .

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12、如图，五面体 $E F - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $D A ⊥ D C$ ， $D E ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $A D / / E F$ ；

(2)、若 $D E = D C = 1$ ， $A D = 3$ ， $B C = 2$ ，求点E到直线AB的距离；

(3)、若 $D C = 1$ ， $E F = 4$ ， $B C = 2$ ，二面角 $F - B D - C$ 的余弦值为 $- \frac{2 \sqrt{26}}{13}$ ，求DE的长．

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13、在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值．若根据这次成绩，学校建议 $70 %$ 的学生选报物理， $30 %$ 的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位）

(2)、这100名学生中，成绩位于 $[80, 90)$ 内的学生成绩方差为12，成绩位于 $[90, 100)$ 内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差．

(3)、现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为 $\frac{2}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{5}, \frac{3}{20}$ ；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{20}$ ；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{5}{16}$ ．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率．

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{4}) - \sqrt{3} \cos 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若 $f (\frac{C}{2} - \frac{π}{12}) = 1 - \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值，及此时a、b的值．

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15、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，点E在 $C C_{1}$ 上且 $C_{1} E = 3 E C$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ B D$ ；

(2)、求点B到平面 $A_{1} D E$ 的距离；

(3)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} D E$ 所成角的正弦值．

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16、（1）一条光线从点 $M (5, 2)$ 射出，遇 $y = x + 1$ 反射，反射光线所在直线的倾斜角为 $α$ ，若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，求反射光线所在直线方程；
（2） $△ M N P$ 的三个顶点分别是 $M (5, 2)$ ， $N (1, 6)$ ， $P (- 1, 4)$ ，求 $△ M N P$ 的外接圆的方程．

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17、在四面体ABCD中， $A B = C D = 2 \sqrt{5}$ ， $A D = B C = \sqrt{13}$ ， $A C = B D = 5$ ， M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段 $M N$ 长度的最小值为．

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18、已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若 $\vec{P A} = x \vec{P B} + 2 y \vec{P C} + \frac{1}{3} \vec{P D}$ 且 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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19、已知直线l的方程为 $(m + 1) x + (2 m - 1) y + 3 = 0$ ，则直线l过定点.

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20、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{μ} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ．
（1）若直线l经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{μ}$ 方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；
（2）若平面 $α$ 经过最 $P_{0}$ ，且以 $\vec{μ}$ 为法向量，P是平面 $α$ 内的任意一点，则平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ．
如图，一在棱长为1的正方体 $O B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、平面 $O B_{1} C$ 的法向量为 $(1, - 1, - 1)$ B、直线 $B D_{1}$ 的方程为 $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ C、过点 $B_{1}$ 的平面 $α$ 方程为 $- (x - 1) + y + (z - 1) = 0$ ，则平面 $α$ 截正方体 $O B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为 $\sqrt{3}$ D、平面 $α$ 方程为 $- (x - 1) + y + (z - 1) = 0$ ，平面 $β$ 方程为 $- x + y + (z - 1) = 0$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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