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1、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 °$ .当 $\frac{C D}{C C_{1}}$ 的值为时，能使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$

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2、如图，二面角 $α - l - β$ 等于 $120 °$ ， $A$ 、 $B$ 是棱 $l$ 上两点， $A C$ 、 $B D$ 分别在半平面 $α$ 、 $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 1$ ，则 $C D$ 的长等于．

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (4, 3), 2 \vec{a} - \vec{b} = (2, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值等于．

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4、下列说法不正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \infty, 5)$ B、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 不共线，且 $\overset{⃑}{O P} = 2 \overset{⃑}{O A} - 4 \overset{⃑}{O B} + 3 \overset{⃑}{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ 、 $C$ 四点共面 C、对同一平面内给定的三个向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，一定存在唯一的一对实数 $λ$ ， $μ$ ，使得 $\overset{⃑}{a} = λ \overset{⃑}{b} + μ \overset{⃑}{c}$ . D、 $△ A B C$ 中，若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形.

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5、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 两两垂直，且 $D B = D C = 3$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6、已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（）
（1） $m \subset α, n \subset α, m / / β, n / / β \Rightarrow α / / β$
（2） $n / / m, n ⊥ α \Rightarrow m ⊥ α$
（3） $α / / β, m \subset α, n \subset β \Rightarrow m / / n$
（4） $m ⊥ α, m ⊥ n \Rightarrow n / / α$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (n, 2)$ ， $\vec{c} = (3, 6)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{41}$

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8、已知直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 分别在第一、二象限， $Q$ 为线段 $A B$ 的中点．设 $C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ， $D$ 为曲线段 $A B$ （不含端点）上一点， $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ．

(1)、证明：
①直线 $P Q ⊥ x$ 轴；
②四边形 $M P N Q$ 的面积为定值；

(2)、设 $△ P M N$ 的外接圆为圆 $E$ ，问：圆 $E$ 是否过定点（点 $P$ 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．

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9、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = 0 时，$ 求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：

合格
不合格
男生
35
15
女生
45
5

(1)、依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关；

(2)、从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} - 1, x \leq a \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > a \end{array}$ ，其中 $a > 0$ ．
（1）当 $a = 2$ 时， $f (f (4))$ ．
（2）若 $f (x)$ 有最大值，则 $a$ 的取值范围为．

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12、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $tan (2 α + \frac{π}{4}) =$ .

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13、若首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 $\{S_{n} + 2\}$ 为等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为递增数列 D、 $\{a_{n}\}$ 中存在三项构成等差数列

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14、已知圆锥的顶点为 $S, O$ 为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30^{\circ}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B、圆锥的侧面积为 $3 π$ C、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $45^{\circ}$ D、圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$

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15、下列求导运算正确的是（）

A、 $(\ln 5)^{'} = \frac{1}{5}$ B、 ${(\ln x + \frac{3}{x})}^{'} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}$ C、 ${(\frac{\sin x}{x})}^{'} = \frac{x \cos x + \sin x}{x^{2}}$ D、 ${(3^{x} \sin 2 x)}^{'} = 3^{x} (\ln 3 \cdot \sin 2 x + 2 \cos 2 x)$

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16、已知函数 $f (x) = x \ln x + m e^{x}$ 有两个极值点，求 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{e}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}]$

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，下列说法中不正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的周期是 $4$ B、直线 $x = 2023$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在 $[2022, 2023]$ 上单调递增 D、 $f (2022) + f (2023) = - 1$

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18、函数 $y = \log_{\frac{1}{5}} (4 x^{2} - 5 x + 1)$ 的单调增区间为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, \frac{5}{8})$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(\frac{5}{8}, + \infty)$

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19、 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $a + 3 b$ 的最小值是（）

A、12 B、13 C、16 D、18

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20、函数 $f (x) = 2 x + \ln x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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	合格	不合格
男生	35	15
女生	45	5

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828