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相关试卷

1、定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2}), f (1) = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、6是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 0}^{2024} f^{2} (\frac{k}{2}) = 4052$

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2、下列结论正确的是（）

A、随机变量X服从二项分布 $B (3, \frac{1}{2}), Y = 2 X + 1$ ，则 $D (Y) = 3$ B、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, 3 x_{3} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为6 C、数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D、随机变量X服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X < 5) = a$ ，则 $P (X > 8) = 1 - a$

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3、设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，O为坐标原点，P为 $C$ 的一条渐近线上一点，且 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P O}| = |\vec{P F_{1}} - \vec{P O}|$ ，若 $|\vec{P F_{1}}| = 2 |\vec{P O}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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4、函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x}, - 1 < x < 1 \\ 3^{x} - m, x \geq 1 \end{cases}$ 单调递增，且 $f (2 m + 1) > f (m - 1)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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5、设 ${(1 + a x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = - 2$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ （）

A、120 B、 $- 120$ C、40 D、 $- 40$

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6、底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + k n$ ，且 $a_{3} = 6$ ，则数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $10$ 项和为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{11}{10}$

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8、生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为： $\hat{y} = - \frac{5}{2} x + 44$ ，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）
温度 $x$ （ $° C$ ）
$6$
$8$
$10$
病毒数量 $y$ （万个）
$30$
$22$
$m$

A、 $m = 19$ B、 $m = 20$ C、 $m = 21$ D、m的值暂时无法确定

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9、已知复数z满足 $(1 + i) z = |- i|$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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10、设集合 $A = \{x| y = \sqrt{x}\}$ ，集合 $B = \{x \in Z| - 2 < x^{3} < 2\}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $\{0\}$ C、 $[0, 1)$ D、 $\{0, 1\}$

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11、某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 $φ (x)$ （单位：元）与时间第 $x$ 天的函数关系近似满足 $φ (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ， $(k > 0)$ ，日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
10
15
20
25
30
$g (x)$
50
55
60
55
50
已知第10天的销售收入为505元.
提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三个函数模型：① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = \frac{a}{x} - b$ ；③ $g (x) = a |x - 20| + b$ ，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 $g (x)$ 与时间第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；

(3)、设过去一个月该工艺品日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值.

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12、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$ ．

(1)、求当 $x < 0$ 时 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用单调性定义判断函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (a x - 1) < f ((a - 1) x)$ ，其中 $a \in R$ 且 $a < 1$ ．

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 + k) x + 2 k$ ，其中 $k \in R$ ．

(1)、若关于x的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} k^{2} + 2 k$ 有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ．

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14、化简求值：

(1)、 $27^{\frac{2}{3}} \times 3^{1 - \log_{3}^{2}} \times {(\sqrt{3} + 1)}^{0} \div {(\frac{81}{16})}^{\frac{3}{4}}$

(2)、 $\log_{2} 16 + \log_{5} 35 - \log_{5} 14 - \log_{5} \frac{1}{50} + \log_{3} 64 \cdot \log_{4} \sqrt[3]{3}$ ．

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15、已知函数 $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1)$ 的定义域和值域都是 $[- 1, 0]$ ，则 $a + b =$ .

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16、若 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是．

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17、已知函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $f (x)$ 必过的定点 $P$ 的坐标为．

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18、不恒为 $0$ 的函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x y) = y f (x) + x f (y)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最小值为 $0$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 x - 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x - 2, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = k$ 的图象有3个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 5, - 2]$ D、 $(- 2, - 1]$

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ 的定义域为 $[- 2, 1]$ ，且 $f (x) \leq 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{4}{3} < a < 0$ B、 $- 4 \leq a < 0$ C、 $- \frac{4}{3} \leq a < 0$ D、 $- 4 < a < 0$

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温度 $x$ （ $° C$ ）	$6$	$8$	$10$
病毒数量 $y$ （万个）	$30$	$22$	$m$

$x$	10	15	20	25	30
$g (x)$	50	55	60	55	50