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相关试卷

1、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在空间任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，且 $|\vec{B C} \times \vec{S D}| = 2 \sqrt{7}$ ．

(1)、求正四棱锥 $S - A B C D$ 的体积 $V$ ；

(2)、若 $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $E$ 是侧棱 $S C$ （包含端点）上的一个动点，当直线 $D E$ 与平面 $B C E$ 所成角最大时，求 $S E : E C$ 的值．

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2、已知曲线M是平面内到 $(1, 0)$ 和 $(- 1, 0)$ 的距离之和为4的点的轨迹．

(1)、求曲线M的方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 作斜率不为0的直线l交曲线M于 $A, B$ 两点，交直线 $x = 4$ 于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ， E是PD的中点．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当点 $M$ 为棱 $P C$ 中点时，求直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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4、已知椭圆和双曲线有相同的焦点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， $P$ 为两曲线的一个公共点，且 $|\overset{⃑}{P F_{1}} - \overset{⃑}{P F_{2}}| = 2 |\overset{⃑}{P O}|$ （ $O$ 为坐标原点）．若 $e_{1} \in$ $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ ，则 $e_{2}$ 的取值范围是．

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合，则 $b =$ .

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6、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段 $C C_{1}$ 、 $B C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、存在点M，使得二面角 $M - D C - P$ 大小为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\vec{M B_{1}} \cdot \vec{M P}$ 最大值为6 C、直线 $P M$ 与面 $A_{1} A D D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ 时，则点M的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$ D、当 $M B_{1} ⊥ B P$ 时，则三棱锥 $B_{1} - A M Q$ 的体积为定值.

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右两焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其中 $F_{1} F_{2} = 2 c$ .直线 $l : y = k (x + c) (k \in R)$ 与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（）

A、当 $k \neq 0$ 时， $△ A B F_{2}$ 的周长为4a B、当 $k \neq 0$ 时，若AB的中点为M，则 $k_{O M} \cdot k = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、若 $\overset{⃑}{A F_{1}} \cdot \overset{⃑}{A F_{2}} = 3 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{1}{2}]$ D、若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$

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8、如图所示，四面体 $A B C D$ 的体积为V，点M为棱 $B C$ 的靠近B的三等分点，点F分别为线段 $D M$ 的中点，点N为线段 $A F$ 的中点，过点N的平面 $α$ 与棱 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 分别交于O，P，Q，设四面体 $A O P Q$ 的体积为 $V'$ ，则 $\frac{V'}{V}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{32}$ B、 $\frac{9}{32}$ C、 $\frac{3}{64}$ D、 $\frac{9}{64}$

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9、已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线的左右焦点，且 $|F_{1} F_{2}| = \frac{b^{2}}{a}$ ， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若 $S_{△ P F_{1} I} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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10、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与C的左支交于A，B两点，且 $\vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} B}$ ， $∠ A B F_{2} = 90 °$ ，则C的渐近线为（）

A、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} x$

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11、 $Δ A B C$ 中， $B (- 4,0)$ ， $C (4 ， 0)$ ， $| A B | + | A C | = 10$ ，则顶点 $A$ 的轨迹方程是

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (x \neq \pm 3)$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (x \neq \pm 5)$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (x \neq \pm 3)$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (x \neq \pm 5)$

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12、过点 $P (4, 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别 $A, B$ ， $O$ 为坐标原点，则 $Δ O A B$ 的外接圆方程为

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 4)}^{2} + {(y +2)}^{2} =2$

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13、已知点 $A (a, - 3, 5)$ ， $B (0, b, 2)$ ， $C (2, 7, - 1)$ ，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）

A、 $- 2$ ， 3 B、 $- 1$ ， 2 C、1，3 D、 $- 2$ ， 2

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14、若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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15、定义在 $D$ 上的函数 $y = f (x)$ ，若对任意不同的两点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ ，都存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ，使得函数 $y = f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的切线 $l$ 与直线 $A B$ 平行，则称函数 $y = f (x)$ 在 $D$ 上处处相依，其中 $l$ 称为直线 $A B$ 的相依切线， $(x_{1}, x_{2})$ 为函数 $y = f (x)$ 在 $x_{0}$ 的相依区间．已知 $f (x) = - (a + 1) x^{2} + a x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，函数 $F (x) = x^{3} + f (x)$ 在 $R$ 上处处相依，证明：导函数 $y = F^{'} (x)$ 在 $(0, 1)$ 上有零点；

(2)、若函数 $G (x) = ln x + \frac{f (x)}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上处处相依，且对任意实数 $m$ 、 $n$ ， $m > n > 0$ ，都有 $\frac{G (m) - G (n)}{m - n} \leq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

(3)、当 $a = 0$ 时， $H (x) = \frac{e^{x}}{\sqrt{- f (x)}} (x > 0)$ ， $(x_{1}, x_{2})$ 为函数 $y = H (x)$ 在 $x_{0} = 1$ 的相依区间，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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16、如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 是“共轴”曲线，且椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ ， $e_{1} e_{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ （ $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 分别为曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的离心率）．已知点 $M (1, 0)$ ，点 $P$ 为双曲线 $C_{1}$ 上任意一点．

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、延长线段 $P M$ 到点 $Q$ ，且 $|P M| = 2 |M Q|$ ，若点Q在椭圆 $C_{2}$ 上，试求点P的坐标；

(3)、若点P在双曲线 $C_{1}$ 的右支上，点A、B分别为双曲线 $C_{1}$ 的左、右顶点，直线 $P M$ 交双曲线的左支于点R，直线 $A P$ 、 $B R$ 的斜率分别为 $k_{A P}$ 、 $k_{B R}$ ．是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{A P} = λ k_{B R}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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17、为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边 $A B$ 为半圆的直径，O为半圆的圆心， $A B = 2 A D = 200 m$ ，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域 $P M N$ （底边 $M N ⊥ C D$ ）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设 $∠ M O B = θ$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求 $△ P M N$ 的面积；

(2)、求三角形区域 $P M N$ 面积的最大值．

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18、如图，已知 $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ， $A B / / D E$ ， $△ A C D$ 为等边三角形， $A D = D E = 2 A B$ ，点F为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $A F / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求直线 $B F$ 和平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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19、某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 $X$ 依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
$X$
1
2
3
4
5
$f$
$a$
$0.2$
$0.45$
$b$
$c$

(1)、若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；

(2)、在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，等级系数为5的2件日用品记为 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ ，现从 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

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20、设函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 均是定义在 $R$ 上的函数，有以下两个命题：①若 $y = f (x)$ 是周期函数，且是 $R$ 上的减函数，则函数 $y = f (x)$ 必为常值函数；②若对任意的a， $b \in R$ ，有 $|f (a) - f (b)| \leq |g (a) - g (b)|$ 成立，且 $y = g (x)$ 是 $R$ 上的增函数，则 $y = f (x) - g (x)$ 是 $R$ 上的增函数．则以下选项正确的是（）

A、①是真命题，②是假命题 B、两个都是真命题 C、①是假命题，②是真命题 D、两个都是假命题

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$X$	1	2	3	4	5
$f$	$a$	$0.2$	$0.45$	$b$	$c$