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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - a)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在极值，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意的实数 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 1} - 2 a_{n} = a_{1}$ ，且 $a_{2} = 3$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{11}{9}$ ．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，且 $A D = C D = P D = 2 A B = 2$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值；

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为.

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5、已知函数 $f (x) = 3 x^{3} + a x - \frac{1}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 6$ D、 $6$

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6、某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为 $2 π$ ，则该圆锥体积为（）

A、 $\frac{3 π}{8}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{24}$

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7、已知点 $G$ 是圆 $T$ ： ${(x + \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 24$ 上一动点（ $T$ 为圆心），点 $H$ 的坐标为 $(\sqrt{2}, 0)$ ，线段 $G H$ 的垂直平分线交线段 $T G$ 于点 $R$ ，动点 $R$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A$ 点坐标为 $(0, 2)$ ，过点 $D (0, - 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $l_{1}$ 为过点 $D$ 且与 $A M$ 平行的直线，设 $l_{1}$ 与直线 $y = - \frac{5}{2}$ 的交点为 $Q$ ．证明：直线 $Q N$ 过定点．

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8、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上，下底面分别是边长为2和4的正方形， $A_{1} A = \sqrt{5}$ ，点P是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（包括端点）．

(1)、证明：平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求点P到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离．

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9、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $p$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为 $\frac{9}{25}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；

(3)、若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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11、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x + 3 y - 2 = 0$ 上，且经过点 $E (4, 2)$ 和 $F (2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A (1, 1)$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $P$ ， $Q$ ，求 $|P Q| .$

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12、如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为m.

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13、下面四个结论正确的是（）

A、空间向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、对空间中四点 $A, B, C, D$ ，若存在点 $O$ ，使 $\vec{O D} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一个基底 D、任意向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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14、下列四个选项中，说法正确的有（）

A、坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B、直线 $a x + 2 y + 6 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + a^{2} - 1 = 0$ 互相平行，则 $a = - 1$ C、过 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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15、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若 $A B = 15$ m， $B C = 6$ m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $A B C D$ 的夹角均为 $45 °$ ，则该五面体的体积为（）

A、 $126 m^{3}$ B、 $117 m^{3}$ C、 $108 m^{3}$ D、 $99 m^{3}$

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16、点 $Q$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ 上的一个动点，则点 $Q$ 到动直线 $y = k x + 2 k - 2$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ B、6 C、 $\sqrt{17} + \sqrt{5}$ D、7

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17、椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的弦被点 $(2, 2)$ 平分，则这条弦所在的直线的方程为（）

A、 $x + 4 y - 10 = 0$ B、 $x - 4 y - 10 = 0$ C、 $4 x - 4 y + 10 = 0$ D、 $4 x - y - 10 = 0$

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18、两平行直线 $m x - 4 y - 2 = 0$ 与 $3 x - 4 y - 12 = 0$ 之间的距离为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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19、以 $A (- 1, 1)$ 为圆心，且经过点 $B (1, 2)$ 的圆的一般方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 3 = 0$

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20、下列说法正确的有（）
①随机事件 $A$ 的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值
②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7
③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上
④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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