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相关试卷

1、以下正确的有（）

A、 $\sin 10 ° \cos 20 ° \cos 40 ° = \frac{1}{4}$ B、 $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °) = 1$ C、函数 $f (x) = \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x$ 的最大值为2 D、 $\frac{2 \cos 10 ° - \sin 20 °}{\cos 20 °} = \sqrt{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ，若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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3、图中正方形 $A B C D$ 的边长为2，圆 $O$ 的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点 $P$ 在圆上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的值为（）

A、23 B、29 C、21 D、24

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4、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点， $D C = 5$ ， $A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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5、四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $B C = 3 B F$ ，连接 $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\cos ∠ E M F =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$

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6、被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度 $M N$ ，在泗水阁旁边找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $28 m$ ，在底面上的点 $C$ 处（ $B$ ， $C$ ， $N$ 三点共线）测得建筑物顶部 $A$ ，泗水阁顶部 $M$ 的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15 °$ ，则泗水阁的高度约为（）

A、 $42 m$ B、 $52 m$ C、 $56 m$ D、 $60 m$

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7、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，若 $\sin (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\cos β = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，设 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，当 $θ = \frac{π}{3}$ 时， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积取得最大值 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $B (3, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $B$ ， $N$ 之间）．
（i）求 $\frac{S_{△ O B M}}{S_{△ O B N}}$ 的取值范围；
（ii）若 $Q$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $\vec{O Q} = \vec{O M} + \vec{O N}$ ，求四边形 $O M Q N$ 的面积．

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9、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）．

A、7 B、1 C、 $4 - 3 \sqrt{3}$ D、 $4 + 3 \sqrt{3}$

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10、已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\sqrt{3} a sin C + c cos A - c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的值．

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3} ， \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求线段 $A D$ 长度的最小值．

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 6, A C = 2 A B = 4, ∠ B A C = 120^{\circ}$ .点 $M$ 满足 $\vec{A A_{1}} = 3 \vec{A M}$ .

(1)、过点 $M$ 作 $M H$ 垂直 $B C$ 于点 $H$ ，证明：平面 $M B C ⊥$ 平面 $A A_{1} H$ ；

(2)、求平面 $B C M$ 与平面 $B_{1} C_{1} M$ 夹角的余弦值.

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12、满足 $a^{x} = b^{y} = c^{z}$ ， $\frac{1}{x} - \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 0 (x, y, z \in R)$ 的有序实数组 $(a, b, c)$ 可以是（）

A、 $(4, 3, 2)$ B、 $(4, 2, 3)$ C、 $(3, 9, 2)$ D、 $(18, 12, 2)$

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13、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，若 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，则（）

A、 $S_{△ A C D} = 3 S_{△ A B D}$ B、 $3 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ C、 $\vec{C A}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量 D、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 8$

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14、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + a = 0 (a \in R)$ 的两根在复平面 $x O y$ 上对应的点分别为 $P$ 和 $Q$ ，若 $△ P O Q$ 是等边三角形，则 $a =$ .

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{6}}{b_{6}} =$ （）

A、 $\frac{111}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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16、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 4$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{(n + 1) a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = \sqrt{5}$ ，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $D E = 2$ ， $A E ⊥ C D$ .将三角形 $D A E$ 沿 $A E$ 翻折至四边形 $D^{'} A E$ ，使得平面 $D^{'} A E$ 与平面 $A E C B$ 所成的二面角的大小为 $60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ D^{'} A$ ；

(2)、动点 $M$ 在线段 $A B$ 上运动，当 $M$ 到平面 $D^{'} A E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求平面 $D^{'} A E$ 与平面 $D^{'} C M$ 的夹角的余弦值.

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18、节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - k \ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 2$ 时，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、若 $f (x) + \sin x - 1 \geq 0$ ，求 $k$ 的取值集合．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ， $C$ 上的点到两焦点的距离之和为6．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $M$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（异于 $M$ 点）．
（i）求 $△ M A B$ 的面积的取值范围；
（ii）直线 $M A, M B$ 分别与直线 $x = 9$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

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