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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 为偶函数且 $f (x) = \log_{2} (2^{x} + 1) + k x$ ， $g (x) = f (x) + x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $g ({(\ln x)}^{2} - a \cdot \ln x - 2) > g (- 3)$ 恒成立，求实数a取值范围；

(3)、设 $h (x) = x^{2} - 2 m x + 1$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 3]$ ，存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求实数m取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = {(\sqrt{3} \cos x + \sin x)}^{2} - 2 \sqrt{3} \sin 2 x$
(1) 求函数 $f (x)$ 的最小值，并写出 $f (x)$ 取得最小值时自变量 $x$ 的取值集合；
(2) 若 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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3、已知集合 $A = \{x |- 2 < x \leq 7\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $A \cap (∁_{R} B)$ ：

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求m的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - 5|$ （ $x > 0$ ），若存在实数a，b，使得 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上单调且值域是 $[m a, m b]$ ，则实数m的取值范围是.

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5、如图，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上，则矩形CDEF面积的最大值为.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x < 0 \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1))$ 的值为.

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7、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递增，则（）

A、 $f (f (2024)) < f (f (2025))$ B、 $f (g (2024)) < f (g (2025))$ C、 $g (f (2024)) > g (f (2025))$ D、 $g (g (2024)) < g (g (2025))$

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8、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin x, \sin x \leq \cos x \\ \cos x, \sin x > \cos x \end{array}$ ，下列四个选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{9 π}{4}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[2 k π + \frac{π}{4}, 2 k π + π]$ ， $k \in Z$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 5 - 2^{|x - 2|}, (x \geq 0) \\ \frac{2 x + 3}{x + 1}, (x < 0) \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f^{2} (x) - (m + 2) |f (x)| + 2 m$ 有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(1, 2] \cup [3, 4)$ B、 $(1, 2] \cup (3, 4)$ C、 $(2, 3) \cup (4, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + \frac{2 m - 1}{x}, x \geq 1 \\ (m + 1) x - 1, x < 1 \end{matrix}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, \frac{1}{2}]$ D、 $[0, + \infty]$

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11、已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12、函数 $f (x) = \frac{\ln |x|}{e^{x} - e^{- x}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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13、设a是不等于1的正数，则“ $a > 2$ ”是“ $\log_{a} 2 < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、函数 $f (x) = \ln x + x - 7$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(6, 7)$

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15、函数 $f (x) = tan 2 x$ 的最小正周期等于（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $2 π$

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16、已知 $a b \neq 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上，则下列结论中错误的结论（）

A、 $M N$ 的最小值为2 B、四面体 $N M B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、存在点 $M, N$ ，使 $△ M B N$ 为等边三角形

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18、布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数 $f (x)$ ，若其定义域中存在一个 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称 $x_{0}$ 为该函数的一个“不动点”．现新定义：若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = - x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“次不动点”．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} - 6$ 是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = 2 x \sin x$ ，若非零实数a是 $g (x)$ 在 $x \in (- 1, 1)$ 内的次不动点，求a的值；

(3)、若函数 $h (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4^{x} - b \cdot 2^{x})$ 在 $[0, 1]$ 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．

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19、函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $α \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ ， $f (α) = \frac{2}{3}$ ，求 $f (α + \frac{π}{6})$ 的值．

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20、已知函数 $f (x) = m x^{2} - (m + 2) x + 2$ ， $m \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq 0$ ．

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