相关试卷

1、【问题情境】
如图1，这是一种电风扇的横截面示意图，点 $O$ 为电风扇横截面的圆心， $A B$ 为底座下部的圆的直径，若连接 $A O ， B O$ ，则 $A O ， B O$ 与 $⊙ O$ 分别交于 $M ， N$ 两点，且 $A M = B N$ ．
【问题探究】
（1）如图2，设 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．过点 $D$ 作 $E F ∥ A B$ ，分别交 $O A$ ， $O B$ 于点 $E$ ， $F$ ，求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线．
【问题解决】
（2）如图2，连接 $A M$ ，经测量可得 $M N = 21 cm$ ， $A B = 28 cm$ ， $A M = 10 cm$ ，求电风扇的半径 $O M$ 的长．

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2、图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆 $A B$ 长 $100 cm$ ，车杆与脚踏板所成的角 $∠ A B C = 70 °$ ，前后轮子的半径均为 $6 cm$ ，求把手A离地面的高度（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ）．

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3、计算： $- 2^{2} \times \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{8} + tan 30 °$

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4、如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 $72 °$ 的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是．

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5、定义关于任意正整数 $m, n$ 的一种新运算： $f (m + n) = f (m) \cdot f (n)$ ．例如，规定 $f (2) = 3$ ，则 $f (4) = f (2 + 2) = 3 \times 3 = 9$ ， $f (6) = f (2 + 2 + 2) = 3 \times 3 \times 3 = 27$ ．若规定 $f (5) = k (k \neq 0)$ ，则 $f (5 n) \cdot f (15) =$ （）

A、 $n^{k + 3}$ B、 $5^{k + n}$ C、 $5^{n + 3}$ D、 $k^{n + 3}$

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6、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则 $∠ A B C$ 的正切值是（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状， $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $∠ E = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，若 $D E ∥ A B$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $95 °$ B、 $85 °$ C、 $75 °$ D、 $65 °$

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8、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a = a^{3}$ C、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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9、纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A、如意纹 B、冰裂纹 C、盘长纹 D、风车纹

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10、“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A： $50 \leq x < 60$ ， B： $60 \leq x < 70$ ， C： $70 \leq x < 80$ ， D： $80 \leq x < 90$ ， E： $90 \leq x \leq 100$ ，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ___________°，并将条形统计图补充完整．

(2)、若“ $90 \leq x \leq 100$ ”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 ___________，中位数是 ___________．

(3)、经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．

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11、如图所示，已知二次函数 $y = a x^{2} - \frac{5}{3} x$ 图象与直线 $y = - x + m$ 相交于点 $A (5, 0)$ ，直线交 $y$ 轴于 $B$ ，点 $P$ 为抛物线上一点，将点 $P$ 绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到对应点 $Q$ ，连接 $P Q$ ．

(1)、求抛物线和直线 $A B$ 的函数解析式．

(2)、当点 $P$ 坐标为 $(6, 2)$ 时，求证：点 $P$ ， $Q$ ， $B$ 三点在同一直线上．

(3)、当 $△ O P Q$ 有一顶点在直线 $A B$ 上时，
①求 $P Q$ 长；
②在①的条件下，当点 $P$ 在第四象限时，在 $P Q$ 上取点 $C$ ，在 $O P$ 上取点 $D$ ，使 $Q C = P D$ ，连接 $O C$ ， $D Q$ ，求 $O C + D Q$ 的最小值．

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12、定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”．

(1)、如图1所示，直角梯形 $A B C D$ 为“斜腰等底直角梯形”， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A D = C D$ ，连接 $A C$ ，求证： $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、如图2所示，在矩形 $A B C D$ 中，折叠矩形，使点 $A$ ， $C$ 重合，折痕为 $E F$ ，点 $D$ 的对应点为 $D^{'}$ ，当 $∠ B A F = 30 °$ 时，求证：四边形 $A F E D^{'}$ 为“斜腰等底直角梯形”；

(3)、如图3所示，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，若以 $A B$ ， $B C$ 为边画四边形 $A B C D$ ，当四边形 $A B C D$ 是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出 $A D$ 的长．

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13、综合与实践
【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利用一根木棒制作一个简易杆秤．
【制作实验】
（1）如图所示，在木棒上先确定点 $O$ 为杆秤提组，点A处挂托盘，选取的托盘质量 $m_{0} = 0.5 kg$ ，秤砣质量 $m_{2} = 1 kg$ ，测得 $l_{1} = O A = 3 cm$ ．
（2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录 $O B$ 的长度，获得的实验数据如表所示：
物体质量 $m_{1} / kg$
0
1
2
3
4
$O B$ 长度 $l_{2} / cm$
1.5
4.5
7.5
10.5
13.5
任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点 $B$ 所处的位置，称为定盘星．由表可知，定盘星和提纽的距离是 ▲ ．
【建立模型】
任务2：小组讨论认为 $O B$ 长度 $l_{2}$ 与物体质量 $m_{1}$ 的关系可以用一次函数来刻画．请求出 $O B$ 长度 $l_{2}$ 与物体质量 $m_{1}$ 的函数关系式．
【结论应用】
任务3：经测量，发现该木棒在提纽 $O$ 挂秤砣一侧的长度为 $34 cm$ ，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和杆尾各预留 $2.5 cm$ 长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程．

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14、如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是半圆 $O$ 上的一点，过点 $C$ 作半圆 $O$ 的切线交 $A B$ 延长线于点 $P$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ P C$ 于点 $D$ ，交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、若 $P C = \frac{156}{5}$ ， $\sin P = \frac{5}{13}$ ，求 $D E$ 的长．

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15、为优化校园科技节活动设计，提升师生参与体验，某校在“智创未来”科技节结束后，随机抽取100名学生和15名教师对科技节活动进行满意度评分（满分100分）．并将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a.100名学生所评分数的频数分布直方图如图所示．数据分成4组：
① $60 \leq x < 70$ ， ② $70 \leq x < 80$ ， ③ $80 \leq x < 90$ ， ④ $90 \leq x \leq 100$ ．
b.15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
c.100名学生和15名教师对科技节活动满意度分数的平均数、中位数、众数如表所示．
分类
平均数
中位数
众数
学生评分
$p$
$q$
89
教师评分
$88.4$
89
$m$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、 $m$ 的值为， $q$ 的值位于学生评分数据分组的第组．

(2)、通过计算，求表中 $p$ 的值．

(3)、根据相关规定，满意度评定结果可划分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分，试判断本次科技节活动师生满意度评定等级，并说明你的理由．

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16、邓先生驾车从深圳宝安国际机场返回中山市博览中心．导航显示，若经过虎门大桥路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟．若邓先生驾车的平均车速不变，则平均车速是多少？（结果保留小数点后一位）

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17、如图所示， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点，点 $E$ 是 $A C$ 上一点．

(1)、尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点 $D$ 作 $D E$ 的垂线，交 $B C$ 于点 $F$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，求证： $D E = D F$ ．

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18、先化简，再求值： ${(x + y)}^{2} + (x + y) (x - y)$ ，其中 $x = 2$ ， $y = - 1$ ．

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19、在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点 $O$ 处，经折射后到盆底点 $B$ 处，法线与盆底交于点 $A$ ．光线的入射角为 $α$ ，折射角为 $θ$ ．若规定“ $\frac{\sin α}{\sin θ}$ ”为折射率 $n$ ，则光在水中的折射率 $n$ 约为 $\frac{4}{3}$ ．当 $α = 30 °$ 时，测得 $A B = 30 cm$ ，则 $O B$ 的长为 $cm$ ．

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20、如图， $△ A B C$ ， $△ D C E$ ， $△ G E F$ 是等边三角形，点 $B$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 在同一直线上，点 $A$ ， $D$ ， $G$ 在同一直线上， $∠ 1 = 30 °$ ．若 $S_{△ G E F} = 1$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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物体质量 $m_{1} / kg$	0	1	2	3	4
$O B$ 长度 $l_{2} / cm$	1.5	4.5	7.5	10.5	13.5

分类	平均数	中位数	众数
学生评分	$p$	$q$	89
教师评分	$88.4$	89	$m$