相关试卷

1、经文化和旅游部数据中心测算，2025年国庆假日8天，全国国内出游人次为 $8.88$ 亿，较2024年国庆节假日7天增加了 $1.23$ 亿人次． $8.88$ 亿用科学记数法可以表示为（）

A、 $8.88 \times 10^{7}$ B、 $8.88 \times 10^{8}$ C、 $8.88 \times 10^{9}$ D、 $0 .888 \times 10^{9}$

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2、用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，配方后方程变形为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 14$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 18$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6$

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3、【问题探究】如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ A B C = 30 °$ ，为探究 $Rt △ A B C$ 中 $30 °$ 角所对的直角边 $A C$ 与斜边 $A B$ 的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．
（1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；
【探究应用1】如图②，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ A B C = 30 °$ ，点 $D$ 在线段 $C B$ 上，以 $A D$ 为边作等边三角形 $A D E$ ，连接 $B E$ ，为探究线段 $B E$ 与 $D E$ 之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取 $A B$ 的中点 $F$ ，连接 $E F$ ．
（2）线段 $B E$ 与 $D E$ 之间的数量关系为，并说明理由；
【探究应用2】如图③，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ A B C = 30 °$ ，点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上，以 $A D$ 为边作等边三角形 $A D E$ ，连接 $B E$ ．
（3）线段 $B E$ 与 $D E$ 之间的数量关系为________，并说明理由．

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4、如图， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 关于直线 $M N$ 对称， $B C$ 与 $D E$ 的交点F在直线 $M N$ 上．若 $D E = 5, C F = 1, ∠ B A C = 75 °, ∠ E A C = 60 °$ ．

(1)、求 $B F$ 的长度；

(2)、求 $∠ C A D$ 的度数．

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5、如图， $△ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的平分线 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点E．若 $A F$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ E C D = 60 °$ ， $∠ E = 24 °$ ，求 $∠ A F C$ 的度数．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是 $A C$ 、 $A B$ 上的点，连接 $D E$ ，并延长至点F，连接 $B F$ ，使得 $∠ A B F = ∠ A$ ，已知 $D E ∥ B C$ ， $A C = B C$ ，求证： $△ B E F$ 是等腰三角形．

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 14$ ， $B C = 8$ ， $A C = 2 m - 2$ ，求m的取值范围．

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8、阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由．
如图，已知 $A E = D E$ ， $E B = E C$ ， $A B = D C$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，求 $∠ D B C$ 的度数．
解：∵ $A E = D E$ ， $E C = E B$ （已知），
∴ $A E + E C = D E +$ _______（等式的性质），即 $C A = B D$ ．
在 $△ A B C$ 和 $△ D C B$ 中， $\{\begin{array}{l} A B =___(已知) \\ ___= B D (已证) \\ B C = C B (公共边) \end{array}$ ，
∴ $△$ _______ $≌ △$ _______ $(S S S)$ ，
∴ $∠ D B C = ∠ A C B = 30 °$ （________）．

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9、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 3, 4)$ ， $B (- 4, 2)$ ， $C (- 2, 3)$ ．画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标．

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10、如图，是一副叠放在一起的三角板，若 $A C = 24$ ，则阴影部分的面积为．

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D C B$ 中， $∠ A B C = ∠ D C B = 90 °$ ， $A B = D C$ ，若 $A C = 10$ ，则 $B D =$ ．

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12、某数学兴趣小组在实践课上观测教学楼A，B与食堂C的方位角，如图，在教学楼A处测得食堂C在南偏东 $58 °$ 方向，在教学楼B处测得食堂C在南偏东 $36 °$ 方向，则在食堂C处观测两处教学楼的视角所成的夹角 $∠ C$ 的度数为．

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13、“直角三角形中的两个锐角互余”的逆命题是．

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14、在平面直角坐标系中，点 $(- 4, 5)$ 关于x轴对称的点的坐标为．

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15、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以点B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径画弧，两弧交于点D，作射线 $A D$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ，根据以上过程及所作图形，下列结论：① $A D$ 垂直平分 $B C$ ；② $∠ B A D = ∠ C A D$ ；③ $S_{四边形 A B D C} = \frac{1}{2} A D \cdot B C$ ，其中正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B > B C$ ，点D在边 $B C$ 上， $C D = 2 B D$ ，点E，F在线段 $A D$ 上， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B A D = ∠ A C F$ ，若 $△ A B C$ 的面积为18，则 $△ A C F$ 与 $△ B D E$ 的面积之和为（）

A、6 B、9 C、12 D、16

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17、纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰 $△ A B C$ （如图②），已知 $A B = A C$ ，则下列不能说明 $B D = C D$ 的是（）

A、 $A D ⊥ B C$ B、 $∠ B A D = ∠ C A D$ C、 $∠ B = ∠ C$ D、 $△ A B D ≅ △ A C D$

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18、如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 $A D$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、角平分线、高线、中线 B、高线、中线、角平分线 C、角平分线、中线、高线 D、中线、角平分线、高线

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19、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、80° B、70° C、60° D、40°

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20、如图， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，若 $C D = 3$ ，则点D到 $A B$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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