相关试卷

1、综合与实践
在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：

(1)、观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A E$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A F$ ， $D F$ ，则 $∠ A D F =$ ____________ $°$ ， $D F$ ， $D E$ ， $A D$ 之间的数量关系是____________；

(2)、类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点，且 $B E > D E$ ，连接 $A E$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A C$ ， $A F$ ， $D F$ ．
① $∠ A D F =$ __________；
②写出 $D F$ ， $D E$ ， $A D$ 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；

(3)、拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A D B = 30 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为边在 $A E$ 的右边作直角 $△ A E F$ ， $∠ A E F = 90 °$ ， $∠ A F E = 30 °$ ，连接 $C E$ ， $F D$ ，若 $△ C E F$ 是以 $C F$ 为腰的等腰三角形，请直接写出 $B E$ 的长．

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2、如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布 $A C = A D = 2 m$ ， $A B$ 为可伸缩支杆，拉绳 $D E$ 、 $C F$ 固定在水平地面 $E F$ 上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线， $A B ⊥ E F$ 于点B， $C D ⊥ A B$ 于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离， $B E = 3 m$ ， $∠ C A D = 120 °$ ．

(1)、求拉绳 $D E$ 的长；

(2)、如图3，现将支杆 $B A$ 向上伸长至点 $A^{'}$ ，同时将固定点E、F分别移动至 $E^{'}$ 、 $F^{'}$ ，使 $A^{'}$ 、 $D^{'}$ 、 $E^{'}$ 共线， $A^{'}$ 、 $C^{'}$ 、 $F^{'}$ 共线，且 $E E^{'} = 1 m$ ，在此过程中，拉绳长度保持不变，求 $A^{'} B$ 的长．（结果保留根号）

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3、学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜 $A B$ ，其中点 $A, B$ 的坐标分别为 $(4, 2), (4, 6)$ ，从点 $C (- 1, 0)$ 发射光线，其图象对应的函数解析式为 $y = m x + n (m \neq 0, x \geq - 1)$ ．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线 $y = m x + n (m \neq 0, x \geq - 1)$ 经过镜面反射后，反射光线与 $y$ 轴相交于点 $E$ ，则点 $E$ 是整点的个数为．

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4、若 $| a - 2 | + {(b + 3)}^{2} = 0$ ，则 $a b =$

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5、将一张长方形纸沿虚线折叠，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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6、若分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围为．

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7、如图， $⊙ O$ 的半径为2，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，连接 $A C 、 B C$ ，若 $∠ A C B = 100 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、 $\frac{10}{9} π$ B、 $\frac{16}{9} π$ C、 $\frac{20}{9} π$ D、 $\frac{32}{9} π$

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，点E是边 $A D$ 的中点，点F在对角线 $A C$ 上，且 $A F = \frac{1}{4} A C$ ，连接 $E F$ ．若 $A C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $△ A B C$ 的周长为 $18$ ， $A E = 3$ ，观察图中尺规作图的痕迹，则 $△ A D C$ 的周长是（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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10、根据国家统计局的数据， $2025$ 年 $11$ 月中国生产芯片约 $431840000000$ 颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据 $431840000000$ 用科学记数法可以表示为（）

A、 $4.3184 \times 10^{9}$ B、 $4.3184 \times 10^{10}$ C、 $4.3184 \times 10^{11}$ D、 $4.3184 \times 10^{12}$

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11、“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列四个数中，其中最大的数是（）

A、3 B、 $- π$ C、 $\sqrt{3}$ D、0

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13、先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a - 2} \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{2 a - 4}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

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14、为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进 $A$ 、 $B$ 两种瓶装饮品共 $300$ 箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
饮料
成本（元/箱）
销售价（元/箱）
$A$
$30$
$45$
$B$
$40$
$60$

(1)、若该超市花了 $10000$ 元进货，求购进 $A$ 、 $B$ 两种饮料各多少箱？

(2)、设购进 $A$ 种饮料 $a$ 箱（ $80 \leq a \leq 100$ ）， $300$ 箱饮料全部卖完可获利润 $W$ 元，求 $W$ 与 $a$ 的函数关系式，并求购进 $A$ 种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？

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15、“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案：
方案一：全体人员享受门票8折优惠．
方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠．

(1)、某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？

(2)、如果该团队人数为x人（ $x > 4$ ），当x为多少时，购票费用刚好相同？

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16、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 ${(a - \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{b - 4} + |c - 2 \sqrt{3}| = 0$ ．

(1)、 $a =$ _____， $b =$ _____， $c =$ _____．

(2)、以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能，请说明理由．

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17、已知 $a = \sqrt{3} + 1, b = \sqrt{3} - 1$ ，求 $\frac{b}{a} - \frac{a}{b}$ 的值．

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18、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = 4$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2$

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19、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点C的坐标为 $(0, 3)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线 $B C$ 的距离最大时，求点P的坐标；

(3)、图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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20、为庆祝建党 $100$ 周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明： $A$ 《我和我的父辈》、 $B$ 《长津湖》、 $C$ 《铁道英雄》、 $D$ 《五个扑水的少年》）

(1)、请把条形统计图补充完整；扇形统计图中 $D$ 类所在的扇形的圆心角度数是 ▲ ；

(2)、小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？

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饮料	成本（元/箱）	销售价（元/箱）
$A$	$30$	$45$
$B$	$40$	$60$