相关试卷

1、在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板 $G E F$ 的顶点 $G$ 放置在直线 $A B$ 上，旋转三角板 $(∠ F = 90 °)$ ．

(1)、如图1，在 $G E$ 边上任取一点 $P$ （不同于点 $G$ ， $E$ ），过点 $P$ 作 $C D ∥ A B$ ，若 $∠ 2 = 110 °$ ，求 $∠ 1$ 的度数；

(2)、如图2，过点 $E$ 作 $C D ∥ A B$ ，请探索并说明 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系；

(3)、将三角板绕顶点 $G$ 转动，过点 $E$ 作 $C D ∥ A B$ ，并保持点 $E$ 在直线 $A B$ 的上方，在旋转过程中，探索 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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2、按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形 $A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D, E$ 是 $A C$ 上一点，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．请说明： $D E ∥ B C$ ．
解： $∵ C D ⊥ A B$ （已知）， $∴ ∠ A D C =$ _____（_____）． $∴ ∠ 1 +$ _____ $= 90 °$ ．
$∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ （已知）， $∴ ∠ 2 =$ _____（_____）． $∴ D E ∥ B C$ （_____）．

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3、下列命题中假命题是（）

A、平移不改变图形的形状和大小 B、负数的平方根是负数 C、对顶角相等 D、在同一平面内，若 $a ∥ b, a ⊥ c$ ，则 $b ⊥ c$

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4、下面是小明同学解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x - 2}{2} - 1$ 的过程，请阅读并完成相应任务．
解∶去分母得∶ $2 (2 x - 1) > 3 (3 x - 2) - 6$ ， ……第一步
去括号得∶ $4 x - 2 > 9 x - 6 - 6$ ， ……第二步
移项得∶ $4 x - 9 x > - 6 - 6 + 2$ ， ……第三步
合并得∶ $- 5 x > - 10$ ， ……第四步
系数化为1得： $x > 2$ …第五步
任务一：以上解题过程中，第步开始出现错误，这一步错误的原因是．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：．
任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式： $\frac{x - 2}{5} - \frac{x + 1}{2} > 1$

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5、若一个数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $10 = 1^{2} + 3^{2}$ ，所以10是“完美数”，再如： $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“完美数”．

(1)、通过计算判断45是否为“完美数”；

(2)、已知 $S = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 的值．

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6、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + 4$ 与正比例函数 $y = 3 x$ 交于点 $A (1, m)$ ．

(1)、求m和k的值．

(2)、若点 $B (3, n)$ 在直线 $y = k x + 4$ 上，连接 $O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、结合图象，直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 < 3 x$ 的解集．

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7、解不等式： $3 x - 1 \geq 2 (x + 2)$ ，并把解集表示在数轴上；

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8、如图， $△ A B C$ 的面积为16， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $P$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ P C D$ 周长的最小值为．

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9、把多项式 $2 x^{2} + 4 x y$ 分解因式，应提取的公因式是．

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10、如图，已知等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交腰 $A C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A B E$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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11、下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $8 a^{2} b^{3} c = 2 a^{2} \cdot 2 b^{3} \cdot 2 c$ B、 $x^{2} y + x y^{2} + x y = x y (x + y)$ C、 $3 a + 1 = a (3 + \frac{1}{a})$ D、 $3 x^{3} + 27 x = 3 x (x^{2} + 9)$

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12、如图， $C D, A E$ 为 $Δ A B C$ 的高， $∠ B = 45 ° ， A C = 4$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ E B D$ ；

(2)、求 $D E$ 的长．

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13、某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件降价5元，则平均每天销售量为_______件；
（2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？

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14、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} + 2 x (x - 3) = 0$ ．

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15、如图，在正方形 $A B C D$ 中，M，N分别为 $C D$ ， $B C$ 上一点，且 $D M = C N$ ，连接 $A M$ ， $D N$ ，交于点P，Q，R分别为 $A N$ ， $A D$ 的中点，连接 $P Q$ ， $P R$ ，若 $P Q = \frac{5}{2}$ ， $P R = 2$ ，则 $M P$ 的长为．

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16、有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率为．

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17、一块三角形板 $A B C ， B C = 12 cm ， A C = 10 cm$ ，测得 $B C$ 边的中心投影 $B_{1} C_{1}$ 长为 $24 cm$ ，则 $A C$ 边的中心投影 $A_{1} C_{1}$ 的长为（　）

A、24cm B、20cm C、15cm D、5cm

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18、
在平面内，对于 $∠ P$ 和 $∠ Q$ ，给出如下定义：若存在一个常数 $t (t ＞ 0)$ ，使得 $∠ P + t ∠ Q = 180 °$ ，则称 $∠ Q$ 是 $∠ P$ 的“ $t$ 系数补角”．例如， $∠ P = 80 °$ ， $∠ Q = 20 °$ ，有 $∠ P + 5 ∠ Q = 180 °$ ，则 $∠ Q$ 是 $∠ P$ 的“ $5$ 系数补角”．
【概念理解】
（1）若 $∠ P = 90 °$ ，在 $∠ 1 = 60 °$ ， $∠ 2 = 45 °$ ， $∠ 3 = 30 °$ 中， $∠ P$ 的“ $3$ 系数补角”是；
【初步认识】
（2）在平面内， $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 为直线 $A B$ 上一点，点 $F$ 为直线 $C D$ 上一点．如图1，点 $G$ 为平面内一点，连接 $G E$ ， $G F$ ， $∠ D F G = 50 °$ ，若 $∠ B E G$ 是 $∠ E G F$ 的“ $6$ 系数补角”，求 $∠ B E G$ 的大小．
【问题解决】
（3）连接 $E F$ ．点 $M$ 、 $N$ 为直线 $A B$ 与直线 $C D$ 间的动点（点 $M$ 、 $N$ 不在直线 $E F$ 上）， $∠ A E N = \frac{1}{3} ∠ A E M$ ， $∠ C F N = \frac{1}{3} ∠ C F M$ ． $∠ E M F$ 是 $∠ E N F$ 的“ $2$ 系数补角”，此时 $∠ E N F$ 的度数？

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19、推理填空
已知：如图，点 $E$ 在直线 $D F$ 上，点 $B$ 在直线 $A C$ 上， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，求证： $∠ A = ∠ F$ ．

证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ (                  )
$∠ 2 = ∠ D G F$ (                         )
∴ $∠ 1 = ∠ D G F$ (                         )
∴         $∥$         (同位角相等，两直线平行)
∴ $∠ 3 + ∠$         $= 180 °$ (                                   )
又∵ $∠ 3 = ∠ 4$ (已知)
∴ $∠ 4 + ∠ C = 180 °$ (等量代换)
∴ $A C ∥ D F$ (                         )
∴ $∠ A = ∠ F$ (                         )

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20、如图，在数轴上点 $A$ 表示数 $a$ ，点 $C$ 表示数 $c$ ， $A$ 、 $C$ 两点之间距离为 $30$ ，原点 $O$ 在点 $A$ 和点 $C$ 之间，且点 $C$ 到 $O$ 的距离是点 $A$ 到 $O$ 的距离的 $2$ 倍．

(1)、 $a =$ ______， $c =$ ______；

(2)、已知点 $D$ 为数轴上一动点，且满足 $C D + A D = 40$ ，直接写出点 $D$ 表示的数；

(3)、动点 $B$ 从数 $1$ 对应的点开始向右运动，速度为每秒 $1$ 个单位长度．同时点 $A$ 、 $C$ 在数轴上运动，点 $A$ 、 $C$ 的速度分别为每秒 $3$ 个单位长度、每秒 $4$ 个单位长度，运动时间为 $t$ 秒．
①若点 $A$ 向右运动，点 $C$ 向左运动， $A B = B C$ ，求 $t$ 的值；
②若点 $A$ 向左运动，点 $C$ 向右运动， $3 A B - m \times B C$ 的值不随时间 $t$ 的变化而改变，请求出 $m$ 的值．

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