相关试卷

1、某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程 $x^{2} = 3 x$ ，解答过程如下所示：
甲
乙
两边同时除以 $x$ ，得 $x = 3$ ．
移项，得 $x^{2} - 3 x = 0$ ． $∴ x (x - 3) = 0$ ． $∴ x - 3 = 0$ 或 $x = 0$ ，解得 $x_{1} = 3, x_{2} = 0$ ．
其中完全正确的是（）

A、甲 B、都正确 C、乙 D、都不正确

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2、如图， $△ A B C$ 为等边三角形，分别延长 $B C$ 、 $A C$ 至点 $D$ 、 $E$ ，使 $C D = C E$ ，连接 $A D$ 、 $D E$ ．

(1)、以 $D$ 为圆心， $D A$ 的长为半径画弧，交 $A E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ．
①请你依据题意，补全图形；
②求证： $B C = E F$ ；

(2)、在（1）的条件下，取 $A D$ 的中点 $M$ ，连接 $B M$ 、 $M F$ ，请你猜想 $∠ B M F$ 的大小，并证明．

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3、【教材原型】
观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
【类比探究】
（1）观察图②，图中阴影部分图形的面积 $a^{2} + b^{2} =$ _____．若 $a + b = 10$ ， $a b = 5$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ _____．
【知识应用】
（2）若 $x$ 满足 $(11 - x) (x - 8) = 2$ ，求 ${(11 - x)}^{2} + {(x - 8)}^{2}$ 的值．
【解决问题】
（3）如图③，有一块梯形空地 $A B C D, A C ⊥ B D$ 于点 $E, A E = D E$ ， $B E = C E$ ．计划在 $△ A E D$ 和 $△ B E C$ 区域内种花，在 $△ C D E$ 和 $△ A B E$ 的区域内种草．经测量种花区域的面积和为 $\frac{25}{2}$ ， $A C = 7$ ，求种草区域的面积和．

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4、本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和 $2 B$ 铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支 $2 B$ 铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支 $2 B$ 铅笔共花费54元．

(1)、请问圆规和 $2 B$ 铅笔的单价分别为多少元？

(2)、老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中 $2 B$ 铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低 $2 a$ 元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求 $a$ 的值．

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5、如图， $A B = D E, A D = C F$ ，有如下条件：① $∠ 1 = ∠ F$ ， ② $B C = E F$ ， ③ $∠ A = ∠ 2$ ， ④ $A B ∥ D E$ ．

(1)、在以上条件中选择一个条件 ▲ （写序号），求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ A = 66 °, ∠ E = 60 °$ ，求 $∠ 1$ 的度数．

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6、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (0, 5)$ 、 $B (- 3, 2)$ 、 $C (- 1, 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A B_{1} C_{1}$ ，并写出 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、将 $△ A B C$ 向右平移8个单位，画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，

(3)、观察 $△ A B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，它们是否关于某条直线对称？若是，则画出对称轴（直线 $l$ ），若不是，请说明理由．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 55 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别在线段 $A C$ ， $C D$ 上运动，且满足 $A E = C F$ ，当 $B E + A F$ 最小时， $∠ A F D$ 的度数为．

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8、若 $x^{2} - 4 (a + 1) x + 16$ 是一个完全平方式，则a的值为．

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9、如图，当 $△ A B C ≌ △ D E F$ 时，则 $x + y =$ ．

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10、已知点 $P (- 2, 1)$ ，则点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是．

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11、计算 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times \dots \dots \times (1 - \frac{1}{2024^{2}}) (1 - \frac{1}{2025^{2}})$ 的值是（）

A、 $\frac{2025}{2024}$ B、 $\frac{2026}{2025}$ C、 $\frac{1013}{2025}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + 4}{x - 3} = \frac{m}{x - 3} + 2$ 无解，则 $m$ 的值是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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13、如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $△ A B C$ 三条边上的中点，若 $△ A B C$ 的面积是12，则阴影部分的面积和是（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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14、下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 ${(3 a^{2})}^{2} = 6 a^{4}$ D、 $a^{4} + a^{2} = a^{8}$

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15、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ B、 $x^{2} + 2 x + 3 = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $x^{2} - x y + y^{2} = {(x - y)}^{2} + x y$ D、 $3 x - 3 y = 3 (x - y)$

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16、两根木条 $A, B$ 按如图所示的方式放在地面上，若 $∠ 3 = 80 °, ∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $125 °$ B、 $100 °$ C、 $80 °$ D、 $55 °$

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17、现有两根木棒，它们的长分别是 $3 cm$ 和 $4 cm$ ．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（）

A、 $1 cm$ B、 $3 cm$ C、 $7 cm$ D、 $9 cm$

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18、“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，再一次向世界展现了中国基建的实力，主桥侧面的三角形钢架结构如图，这样的结构蕴含的数学原理是（）

A、垂线段最短 B、两点确定一条直线 C、三角形具有稳定性 D、三角形任意两边之和大于第三边

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19、产自中国的“手撕钢”，厚度仅 $0.000015$ 米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据 $0.000015$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.5 \times 10^{- 4}$ B、 $1.5 \times 10^{- 5}$ C、 $15 \times 10^{- 6}$ D、 $0.15 \times 10^{- 4}$

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20、要使分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 5$ B、 $x > 5$ C、 $x < 5$ D、 $x \neq - 5$

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甲	乙
两边同时除以 $x$ ，得 $x = 3$ ．	移项，得 $x^{2} - 3 x = 0$ ． $∴ x (x - 3) = 0$ ． $∴ x - 3 = 0$ 或 $x = 0$ ，解得 $x_{1} = 3, x_{2} = 0$ ．