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1、下列判断正确的是（）

A、从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离 B、过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C、作出已知直线外一点到已知直线的距离 D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

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2、如图，已知 $A O ⊥ B O$ ， $∠ B O C = 40 °$ ， $O M$ 平分 $∠ A O C$ ， $O N$ 平分 $∠ B O C$ ，则 $∠ M O N$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $45 °$ D、 $70 °$

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3、如图，已知平面内有一个 $∠ A O B$ 和三点 $C$ ， $D$ ， $E$ ，按要求画图，并回答问题：

(1)、画线段 $C E$ ，射线 $E D$ ，直线 $C D$ ；

(2)、过点 $D$ 画 $D F ⊥ O A$ ，垂足为点 $F$ ；

(3)、对于 $∠ A O B$ 内部的任意一点 $P$ ，点 $P$ 到 $∠ A O B$ 的两边的距离中的较短距离记为 $d_{P}$ ，按照上述记法，请你通过测量得出 $d_{C}$ $d_{E}$ （填“ $>$ ”“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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4、如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ 于点 $O$ ， $∠ E O D ∶ ∠ D O B = 3 ∶ 1$ ，则 $∠ C O E$ 度数为．

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5、如图所示，一架云梯 $A B$ 长 $25 m$ ，斜靠在一面墙上，梯子底端与墙的距离 $O B$ 长 $7m$ ，求这个梯子顶端与地面的距离 $O A$ 有多少米？如果梯子顶端下滑了 $4 m$ ，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了 $4 m$ 吗？请计算说明．

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6、如图，分别以 $Rt △ A B C$ 的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{3} + S_{2} - S_{1} = 20$ ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、5 B、10 C、6 D、8

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7、某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元：当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8、下列各图表示的 $y$ 不是 $x$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、如图，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $∠ C O D = 120 °$ ， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ，设 $∠ A O C = α$ ．

(1)、如图①，若 $α = 20 °$ ，则 $∠ D O E$ 的度数是___________；当 $∠ A O C = α$ 时．用含 $α$ 的式子表示 $∠ D O E$ 的度数是___________；

(2)、若将如图①中的 $∠ C O D$ 绕点O顺时针旋转到如图②的位置，其他条件不变．
①求 $∠ A O E$ 与 $∠ B O D$ 的度数之间的数量关系；
②若OF是 $∠ A O C$ 内的一条射线，且 $∠ A O C + ∠ B O D - 2 ∠ A O F = 90 °$ ，试说明 $∠ A O F + 2 ∠ C O E = 105 °$ ．

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10、已知点 $O$ 是直线 $A B$ 上一点，射线 $O D$ 平分 $∠ A O C$ ．

(1)、如图①所示，射线 $O E$ 在 $∠ A O C$ 内部， $∠ C O E = \frac{1}{3} ∠ B O C$ ，若 $∠ B O E = 64 °$ ．求 $∠ B O C$ 的度数；

(2)、如图②所示，射线 $O E$ 在直线 $A B$ 下方， $∠ B O C : ∠ A O D : ∠ A O E = 2 : 5 : 8$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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11、如图所示，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点位于同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）

(1)、作线段 $A B$ 、射线 $A D$ ；

(2)、连接 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ；

(3)、作射线 $B C$ ，在射线 $B C$ 延长线上作线段 $C E = 2 B C$ ，若 $B C = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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12、如图，点 $A ， O ， B$ 在同一条直线上， $∠ D O E = 90 °$ ， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ．若 $∠ C O D : ∠ C O E = 3 : 2$ ，则 $∠ A O E$ 的度数是．

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13、下列各图中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 互为余角的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、某立体图形如图，其从正面看所得到的图形是（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、在平面直角坐标系xOy中， $⊙ O$ 的半径为2，A为任意一点，B为 $⊙ O$ 上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为 $p$ （规定：点 $A$ 在 $⊙ O$ 上时， $p = 0$ ），最大值为 $q$ ，那么把 $\frac{p + q}{2}$ 的值称为点 $A$ 与 $⊙ O$ 的“美好距离”，记作 $d (A, ⊙ O)$ ．

(1)、如图1，已知点 $D (4, 0)$ ， $E (0, - 6)$ ， $F (0, - 8)$ ．
① $d (D, ⊙ O) =$ _____；
②若点M在线段EF上，直接写出 $d (M, ⊙ O)$ 的取值范围是_____；

(2)、若点 $N$ 在直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 上，求 $d (N, ⊙ O)$ 的取值范围；

(3)、正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足 $d (P, ⊙ O)$ 的最小值为2，最大值为6，直接写出 $m$ 的最小值和最大值．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $E$ 在边 $A C$ 上，点 $D$ 为 $A B$ 中点，点 $F$ 为 $B E$ 中点，连接 $C D$ 交 $B E$ 于点 $N$ ，过点 $F$ 作 $B E$ 的垂线交 $A B$ 于点 $M$ ．

(1)、补全图形；

(2)、写出 $F M$ 和 $F N$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、直接用等式表示线段 $A M$ 、 $A E$ 、 $C N$ 之间的数量关系．

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17、如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
d（米）
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h（米）
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…
请你解决以下问题：

(1)、在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；

(2)、结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为______米；

(3)、该抛物线的解析式为____________；起跳点A距离地面的高度为______米；

(4)、在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？______（填“成功”，“不成功”，“不确定”）；人梯移动到距离起跳点A的水平距离为______米时，成功且表演效果最佳．

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18、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径，点D在 $⊙ O$ 上，过点D作 $⊙ O$ 切线与 $A C$ 的延长线交于点E， $E D ∥ B C$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点F．

(1)、求证： $∠ B A D = ∠ D A E$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， A D = 5$ ，求 $D F$ 的长．

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19、第十五届全运会于2025年11月17日至21日在粤港澳大湾区举行，小明和小红报名参加了志愿者的工作，他俩在同一个场馆工作，该场馆的志愿者被随机分到A组、B组、C组的其中一组．

(1)、小明被分配到A组是______事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）
小红被分配到A组的概率是______．

(2)、请用列表或画树状图的方法，求小明和小红被分配到同一组的概率．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，将 $△ A B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到 $△ C B E$ ，连接 $E D$ ．

(1)、若 $∠ B D C = 62 °$ ，直接写出 $∠ A B D$ 的度数为______ $°$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ， $C D = 3$ ，求线段 $D E$ 的长．

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d（米）	…	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50	…
h（米）	…	3.40	4.15	4.60	4.75	4.60	4.15	…