相关试卷

1、下列各式计算错误的是（）

A、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 5$ D、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$

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2、豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（ $Q u e s t \cdot M o b i l e$ ）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在3.1亿．数据3.1亿用科学记数法可表示为（）

A、 $3.1 \times 10^{- 8}$ B、 $3.1 \times 10^{7}$ C、 $3.1 \times 10^{9}$ D、 $3.1 \times 10^{8}$

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3、魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作 $+ 300$ 米，则向西走800米可记作（）

A、 $+ 800$ 米 B、 $- 800$ 米 C、 $+ 300$ 米 D、 $- 300$ 米

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4、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $C E = C D$ ， $F$ 是 $D E$ 上一点，连接 $A F$ ，作 $F G ⊥ A F$ 交射线 $D C$ 于点 $G$ ．

(1)、如图①，连接 $A G$ ，当 $D F = E F$ 时，判断 $△ A F G$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图②，当 $D F \neq E F$ 时，写出线段 $A D, D F, D G$ 之间的数量关系，并证明．

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5、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点G，E 分别在 $D C, B C$ 上， $D G = C E$ ， $A G, D E$ 相交于点F．

(1)、求证： $A G ⊥ D E$ ；

(2)、当点E是 $B C$ 的中点时，求证： $A B = B F$ ．

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6、为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题．
资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离 $B C$ 为12米，根据手中余线长度计算出 $A B$ 为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离 $B E$ 为 $1.8$ 米，且四边形 $B E D C$ 为长方形．

(1)、求风筝离地面的垂直高度 $A D$ ；

(2)、如果小明想让风筝沿 $D A$ 方向再上升7米， $B C$ 长度不变，那么他应该再放出多少米的线？

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7、如图，直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ，且 $C D = 2 ， B D = 1$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $A D$ 的长．

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8、已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足 $a^{2} - 12 a + 36 + \sqrt{b - 8} = 0$ ，求这个三角形的最大边c的取值范围．

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9、计算：

(1)、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{27} - \sqrt{12}$

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} - \sqrt{24}$ ．

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10、如图，在边长为4 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为．

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{2} - S_{1} + S_{3} = 24$ ，则图中阴影部分的面积为．

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12、如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有条．

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13、在平面直角坐标系中有两点 $A (- 1, - 1), B (3, 2)$ ，则 $A B$ 的长为．

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14、已知 $y = 2 - \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x}$ ，则 $y =$ ．

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15、已知四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点O，如果只给出条件“ $A B ∥ C D$ ”，那么（）
①再加上条件“ $B C = A D$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形；
②再加上条件“ $∠ B A D = ∠ B C D$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形；
③再加上条件“ $A O = C O$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形；
④再加上条件“ $∠ D B A = ∠ C A B$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形．

A、①和② B、①③和④ C、②和③ D、②③和④

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16、如图，直线 $a ∥ b$ ，则直线 $a ， b$ 之间的距离是（）

A、线段 $A B$ B、线段 $A B$ 的长度 C、线段 $C D$ D、线段 $C D$ 的长度

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17、若 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 应满足的条件是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x > - 2$ 且 $x \neq 3$ C、 $x \neq 3$ D、 $x \geq - 2$ 且 $x \neq 3$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45^{\circ}$ ， $A D$ ， $B E$ 分别为 $△ A B C$ 的高．

(1)、如图1，若 $B D = \sqrt{3}$ ， $A C = 5 \sqrt{6}$ ，连接 $D E$ ， $B E =$ ___________， $D E =$ ___________；

(2)、如图2，连接 $D E$ ，将 $D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $E F$ ，连接 $D F$ ， $G$ 为线段 $D F$ 上一点，连接 $C G$ ．若 $∠ E C G = ∠ A D E$ ，求证： $A B = 2 C G$ ；

(3)、如图3，若 $C B = C A = 2 \sqrt{2}, P$ 是线段 $A D$ 上一动点，将线段 $C P$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 至线段 $C Q$ ，连接 $P B$ ， $P E$ ， $D Q$ ．当 $D Q$ 取得最小值时，请直接写出 $△ B E P$ 的面积．

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19、【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，如果我们将 ${(a - b)}^{2}$ 写成 ${[a + (- b)]}^{2}$ ，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下： ${(a - b)}^{2} = {[a + (- b)]}^{2} = a^{2} + 2 a \cdot (- b) + {(- b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、【类比推理】
已知两数的立方和公式为 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： $a^{3} - b^{3} = a^{3} + {(- b)}^{3} =$ ___________．

(2)、【应用公式】
因式分解： $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ ．

(3)、【拓展提升】
如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形 $A B C D$ ，设 $S_{四边形 A B C D} = S_{1}$ ， $S_{四边形 E F G H} = S_{2}$ ， $S_{四边形 M N P Q} = S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 30$ ，则① $S_{2} =$ ___________．
②若该直角三角形两条边长分别为 $m$ 和 $n$ ，且 $S_{3} = 2$ ，先将代数式 $m^{6} + 2 m^{4} n^{2} + 2 m^{2} n^{4} + n^{6}$ 进行因式分解，然后求出代数式的值．

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20、综合实践

背景一	深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的 $\frac{7}{9}$ ．
背景二	经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元．

(1)、该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？

(2)、该文创店所获得的最大利润是多少？

(3)、实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降

m (10 < m < 25)

元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？

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