相关试卷

1、下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 2$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ C、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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2、下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、 $3 x + 5 y = 0$ B、 $5 x + 2 = 0$ C、 $3 x^{2} - 2025 = 0$ D、 $2 x - \frac{1}{x} = 0$

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3、下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．

无理数的估算

大家知道 $\sqrt{3}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{3}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用 $\sqrt{3} - 1$ 来表示 $\sqrt{3}$ 的小数部分，你同意我的表示方法吗？

事实上，我的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{3}$ 的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

例如：

$∵ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ 即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，

$∴ \sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ．

根据以上笔记内容，请完成如下任务．

(1)、任务一：

\sqrt{11}

的整数数部分为_____，小数部分为_______；

(2)、任务二：

a

为

\sqrt{5}

的小数部分，

b

为

\sqrt{17}

的整数部分，请计算

a + b - \sqrt{5}

的值；

(3)、任务三：

x + y = 10 + \sqrt{3}

，其中

x

是整数，且

0 < y < 1

，求

2 x - y

的值．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $∠ B = 90 °$ ，点D是 $B C$ 边上一动点（点D不与B，C重合），连接 $A D$ ，以 $A D$ 为边在直线 $A D$ 右侧作 $△ A D E$ ，使得 $△ A D E ∽ △ A B C$ ．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中， $△ A B D$ 与 $△ A C E$ 始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化， $D E$ 的位置随之发生变化，当 $A C$ 的中点M恰好落在 $D E$ 上时，求 $\tan ∠ B A D$ 的值．
【拓展延伸】
（3）如图3， $A C$ 交 $D E$ 于点F，P为 $A E$ 的中点．当 $△ P C D$ 为等边三角形时，求 $D F$ 的长．

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a (a > 0)$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，若 $△ A B D$ 的面积是 $△ A C D$ 面积的两倍，求点D的坐标；

(3)、延长 $C D$ 交x轴于点F， $A D = D F$ ，试探究直线 $D E$ 是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

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6、在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有 $A$ ， $B$ 两个工种的工人共 $100$ 人，每月发工人工资 $280000$ 元， $A$ ， $B$ 两个工种的工人的月工资分别为 $2500$ 元和 $3000$ 元．

(1)、 $A$ ， $B$ 两个工种的工人各有多少人？

(2)、现工厂扩大生产投入，需再招聘 $A$ ， $B$ 两个工种的工人共 $50$ 名，招聘要求全工厂 $B$ 工种的人数不少于 $A$ 工种人数的 $2$ 倍，那么此次招聘 $A$ 工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．

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7、在综合实践活动中，数学兴趣小组对 $1 ~ n$ 这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于 $\frac{n}{2}$ 的取法种数k进行了探究．发现：当 $n = 2$ 时，只有 $\{1, 2\}$ 一种取法，即 $k = 1$ ；当 $n = 3$ 时，有 $\{1, 2\}$ 和 $\{2, 3\}$ 两种取法，即 $k = 2$ ；当 $n = 4$ 时，可得 $k = 5$ ；……．若 $n = 6$ 时，则k的值为；若 $n = 23$ ，则k的值为．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，E为 $A C$ 上一点， $A E = D E$ ．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折叠得到 $△ F D E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点G．若 $\sin C = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{E G}{G C} =$ ．

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 图象上存在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，当 $m - 2 < x_{1} < x_{2} < m$ 时，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，则m的取值范围为．

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10、若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两个实数根，则 ${(m - 3)}^{2} - 2 n$ 的值为．

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11、如图，已知 $△ A B C ≌ △ F D E$ ， $A D = 2$ ， $B D = 3$ ，则 $F D$ 的值为．

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12、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - 2 x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点 $A (a, 4)$ ， B两点，与x轴相交于点 $C (3, 0)$ ，过点B作 $A B$ 的垂线交反比例函数的图象于另一点D．

(1)、求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)、点E是坐标轴上一点，点F是直线 $B D$ 上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；

(3)、设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接 $A P$ 交 $B D$ 与点Q，若 $△ A B Q$ 与 $△ P D Q$ 相似，求点P的坐标．

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与边 $B C$ 相切于点D，与 $A B$ ， $A C$ 分别相交于点E，F， $A D$ 与 $O E$ 相交于点G．

(1)、求证： $∠ C = ∠ A D E$ ；

(2)、若 $C F = 4$ ， $\sin C = \frac{3}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $D G$ 的长．

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14、如图，滑动调节式遮阳伞的立柱 $A C$ 垂直于地面 $A B$ ， $P$ 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 $△ P D E$ ， $F$ 为 $P D$ 的中点， $A C = 2.8 m$ ， $P D = 2.2 m$ ， $C F = 1.1 m$ ， $∠ D P E = 16 °$ ．根据生活经验，当太阳光线与 $P E$ 垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为 $73 °$ 时，要使遮阳效果最佳，求 $A P$ 的长．（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $\sin 57 ° \approx 0.84$ ， $\cos 57 ° \approx 0.54$ ， $\sin 73 ° \approx 0.96$ ， $\cos 73 ° \approx 0.29$ ）

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15、 $2024$ 年中国新能源汽车产销量突破了 $1300$ 万辆，这个数字是全球的 $70 %$ ，也是连续 $10$ 年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型
人数
所占百分比
纯电
$22$
$a %$
混动

$b %$
氢燃料
$4$

油车

$15 %$
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、分别求出表中 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若此次汽车展览会的参展人员共有 $6000$ 人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数；

(3)、在喜欢氢燃料的 $4$ 人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．

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16、（1）计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + 2 \cos 30 ° - \sqrt{16} + |1 - \sqrt{3}|$ ．
（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 2 > 2 (x + 1) \\ \frac{x - 3}{2} \leq \frac{x - 1}{3} \end{matrix}$ ．

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B =60 °$ ， M是 $B C$ 的中点，点P是 $C D$ 上一动点，连接 $P A$ ， $P M$ ，则 $P A + P M$ 的最小值为．

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{2 - m}{x}$ 的图象上，当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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19、如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，A，B为切点，若 $∠ P = 60 °$ ， $O A = 3$ ，则图中阴影部分的面积为．

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20、方程 $\frac{1}{1 - x} - \frac{2 - x}{x - 1} = 2$ 的解是．

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类型	人数	所占百分比
纯电	$22$	$a %$
混动		$b %$
氢燃料	$4$
油车		$15 %$