相关试卷

1、（1）【探究发现】
如图1，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是内角 $∠ A B C$ 和外角 $∠ A C D$ 的角平分线的交点，试猜想 $∠ P$ 与 $∠ A$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是内角 $∠ A B C$ 和外角 $∠ A C D$ 的 $n$ 等分线的交点，即 $∠ P B C = \frac{1}{n} ∠ A B C$ ， $∠ P C D = \frac{1}{n} ∠ A C D$ ，试猜想 $∠ P$ 与 $∠ A$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
（3）已知，如图3， $A D 、 B E$ 相交于点C， $∠ A B C$ 、 $∠ C D E$ 、 $∠ A C E$ 的角平分线交于点P， $∠ A = 35 °$ ， $∠ E = 25 °$ ，则 $∠ B P D =$ ．

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2、已知关于 $x, y$ 的方程 $(2 m - 6) x^{n + 1} + (n + 2) y^{|m| - 2} = 0$ 是二元一次方程．

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、若 $y = - 2$ ，求 $x$ 的值．

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3、解不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x - 9 \leq 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{matrix}$

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4、解二元一次方程组： $\{\begin{matrix} x - y = 3 \\ 3 x - 8 y = 4 \end{matrix}$ ．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C ， C E$ 平分 $∠ A C B ， ∠ A = 70 °$ ，则 $∠ B E C =$ ．

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6、如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（　　）

A、96° B、84° C、76° D、72°

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7、解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} > 1 - \frac{x - 2}{6}$ ，下列去分母正确的是（　　）

A、 $2 (2 x - 1) > 1 - (x - 2)$ B、 $2 (2 x - 1) < 6 - (x - 2)$ C、 $2 (2 x - 1) > 6 - x - 2$ D、 $2 (2 x - 1) > 6 - (x - 2)$

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8、已知某三角形的三边长分别为3，7， $m$ ，则 $m$ 的值可以是（）

A、1 B、4 C、7 D、10

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9、同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示．
记图1中回字形福建土楼的占地面积为 $S_{1}$ ，图2中山西大院的占地面积为 $S_{2}$ ．
（1）若 $b > a > 0$ ，比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小： $S_{1}$ $S_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）；
（2）若 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{9}{10}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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10、小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为 $S_{1}$ ）更大；
②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为 $S_{2}$ ）更大．
【数据采集】
为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
【数据应用】

(1)、请分别计算这两个建筑物的占地面积；

(2)、若 $0 < a < b$ ，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ．

(1)、实践操作：利用无刻度直尺和圆规作图（保留作图痕迹）要求：延长 $C B$ 至点 $D$ ，使 $B D = B A$ ，连接 $A D$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $A C = m$ ，求 $tan 15 °$ 的值．

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12、【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 $x^{2} + x = 1$ ，求 $x^{2} + x + 2024$ 的值，我们将 $x^{2} + x$ 作为一个整体代入，则原式 $= 1 + 2024 = 2025$ ．

(1)、如果代数式 $4 y^{2} - 2 y + 5$ 的值为 $7$ ，那么代数式 $2 y^{2} - y$ 的值为_______．

(2)、如图，若 $a - b = 4$ ，求长方形 $A$ 与 $B$ 的面积差．

(3)、 $A, B$ 两地相距 $150$ 千米，某日，甲从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，同时，乙从 $B$ 地出发前往 $A$ 地．已知甲每小时行 $a$ 千米，乙每小时行 $b$ 千米，经过 $3$ 小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距 $20$ 千米的时间．

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13、综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对下列问题进行研究．
【概念认识】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d$ ．对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“奇妙点”．
【概念理解】
（1）如图1，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ ___________，在点 $P_{1} (- 1, 0)$ ， $P_{2} (2, 8)$ ， $P_{3} (3, 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21}, - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“奇妙点”是___________；
【灵活运用】
（2）如图2，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中 $D$ 点的坐标为 $(1, 1)$ ．若直线 $y = - x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“奇妙点”．求 $b$ 的取值范围；
（3）已知点 $M (- 1, 0) ， N (0, - \sqrt{3})$ ，图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心，1为半径的 $⊙ T$ ．若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为 $⊙ T$ 的“奇妙点”，直接写出 $t$ 的取值范围．

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14、习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是．

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15、数学兴趣小组借助绘图软件探究函数 $y = \frac{n x}{{(x + m)}^{2}}$ 的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（）

A、 $m > 0$ ， $n > 0$ B、 $m > 0$ ， $n < 0$ C、 $m < 0$ ， $n > 0$ D、 $m < 0$ ， $n < 0$

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16、某书店在世界读书日期间推出了“全民阅读”促销活动．嘉嘉通过图示的框图，清晰直观地呈现了书店从进货、标价到销售获利的完整流程及其相关数量信息，据此，x的值为．

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17、定义： $L (A)$ 是多项式 $A$ 化简后的项数，例如多项式 $A = x^{2} + 2 x - 3$ ，则 $L (A) = 3$ ．一个多项式 $A$ 乘多项式 $B$ 化简得到多项式 $C$ （即 $C = A \times B$ ），如果 $L (A) \leq L (C) \leq L (A) + 1$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的“好多项式”，如果 $L (A) = L (C)$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的“极好多项式”．

(1)、若 $A = x - 2$ ， $B = x + 3$ 均是关于 $x$ 的多项式，则 $B$ _________选填“是”或“不是”） $A$ 的“好多项式”；

(2)、若 $A = x - 2$ ， $B = x^{2} + a x + 4$ 均是关于 $x$ 的多项式，且 $B$ 是 $A$ 的“极好多项式”，则 $a =$ __________；

(3)、若 $A = x^{2} - x + 3 m$ ， $B = x^{2} + x + m$ 均是关于 $x$ 的多项式，且 $B$ 是 $A$ 的“极好多项式”，求 $m$ 的值．

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18、阅读理解．
已知 ${(a - 12)}^{2} + {(14 - a)}^{2} = 6$ ，求 ${(a - 13)}^{2}$ 的值．
解：由 ${(a - 12)}^{2} + {(14 - a)}^{2} = 6$ ，可得 ${[(a - 13) + 1]}^{2} + {[(a - 13) - 1]}^{2} = 6$ ．
整理得 ${(a - 13)}^{2} + 2 (a - 13) + 1 + {(a - 13)}^{2} - 2 (a - 13) + 1 = 6$ ，
$2 {(a - 13)}^{2} + 2 = 6$ ，得 ${(a - 13)}^{2} = 2$ ．
请仿照上述方法，完成下列问题：

(1)、已知 ${(a - 48)}^{2} + {(46 - a)}^{2} = 32$ ，求 ${(a - 47)}^{2}$ 的值．

(2)、已知 ${(a - 2004)}^{2} = 8$ ，求 ${(a - 2005)}^{2} + {(2003 - a)}^{2}$ 的值．

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19、作图题（不写作法，只写结论，保留作图痕迹）
已知直线 $A B$ 和直线外一点 $P$ ，用尺规作直线 $C D$ ，使 $C D$ 经过点 $P$ ，且 $C D ∥ A B$ ．

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20、如图，将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠， $C$ 点落在 $C^{'}$ ， $D$ 点落在 $D^{'}$ 处， $E D^{'}$ 的延长线交 $B C$ 于点 $G$ ，若 $∠ E F G = 65 °$ ，求 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 的度数．

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