相关试卷

1、设 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 是反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 图象上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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2、小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下：
抛掷次数n
100
300
500
700
800
900
1000
钉尖着地的频数m
36
111
190
266
312
351
390
钉尖着地的频率
0.36
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.39
根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（）

A、540 B、555 C、570 D、585

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3、如图， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 为 $10$ ，弦 $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $M$ ， $A B = 8$ ，则 $C M$ 的长为( )

A、2 B、3 C、4 D、5

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4、在函数 $y = \frac{6}{x}$ 图象上的点是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(- 2, - 4)$ C、 $(1, 6)$ D、 $(6, 6)$

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5、抛物线 $y = 4 {(x - 3)}^{2} + 7$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3, 7)$ B、 $(3, - 7)$ C、 $(- 3, 7)$ D、 $(- 3, - 7)$

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6、 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中， $∠ 1 = ∠ 2$ ）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动．
【生活案例】
（1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子 $A B$ ， $C D$ 是平行放置的，光线 $m$ 经过镜子 $A B$ ， $C D$ 两次反射后得到光线 $n$ ．则 $m$ 与 $n$ 的位置关系是______．
【变式思考】
（2）如图3，调整镜子 $C D$ ，光线 $m$ 经过镜子 $A B$ ， $C D$ 两次反射后得到光线 $n$ ．若 $m ∥ n$ ，求两面镜子夹角 $α$ 的度数．
【拓展运用】
（3）调整图3中的镜子使 $A$ ， $C$ 重合，并改变它们的角度，光线 $m$ 经过镜子 $A B$ ， $C D$ 两次反射后得到光线 $n$ ．若 $m ⊥ n$ ，求两面镜子夹角 $β$ 的度数．

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8、综合实践课上，珍珍用半径为 $9 cm$ ，圆心角为 $120 °$ 的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 $cm$ ．

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9、【综合与探究】
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，“飞跃”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若 $∠ A C B = 145 °$ ，则 $∠ A C E$ 的度数是_______， $∠ D C B$ 的度数是_______， $∠ E C D$ 的度数是_______．
②如图1，你发现 $∠ A C E$ 与 $∠ D C B$ 的大小有何关系？ $∠ A C B$ 与 $∠ E C D$ 有何数量关系？请直接写出你发现的结论，并选择其中一个说明理由．
【类比探究】
（2）如图2，当 $△ A C D$ 与 $△ B C E$ 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否均成立？请说明理由．图1图2

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10、鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下 $10$ 枚普通鸡蛋的失重率．
当储存时间为 $d$ (天)，冷藏 $(2 ℃)$ 储存时鸡蛋的失重率记为 $y_{1}$ ，常温 $(25 ℃)$ 储存时鸡蛋的失重率记为 $y_{2}$ ，部分数据如下表：
$d /$ 天
$0$
$10$
$15$
$20$
$25$
$30$
$35$
$40$
$45$
$\dots$
$y_{1} / %$
$0$
$0.56$
$0.84$
$1.12$
$1.40$
$1.68$
$1.96$
$a$
$2.52$
$\dots$
$y_{2} / %$
$0$
$2.8$
$5.0$
$6.8$
$9.1$
$10.6$
$12.2$
$13.5$
$16.8$
$\dots$

(1)、表格中 $a$ 的值为        ；

(2)、通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画 $y_{1}$ 与 $d$ ， $y_{2}$ 与 $d$ 之间的关系，在给出的平面直角坐标系中 $y_{1}$ 标系中，画出这两个函数的图象；

(3)、根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
$①$ 当常温 $(25 ℃)$ 储存的鸡蛋失重率为 $10 %$ 时，储存时间为          天；
$②$ 若将常温 $(25 ℃)$ 储存下 $10 %$ 失重率的鸡蛋取出 $5$ 枚改为冷藏 $(2 ℃)$ ，则 $10$ 天后，这 $5$ 枚鸡蛋的失重率比常温 $(25 ℃)$ 储存的 $5$ 枚鸡蛋失重率约低           ．

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11、习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组 $13$ 名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是（）

A、 $1$ ， $1$ B、 $2$ ， $1$ C、 $1$ ， $2$ D、 $2$ ， $5$

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12、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F分别在 $A D$ 、 $B C$ 上，且 $D E = B F$ ， $E F$ 、 $B D$ 相交于点O，求证： $O E = O F$ ．

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13、“致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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14、综合与实践
下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上．
【作图探讨】（1）如图1，以 $B$ 为圆心， $A D$ 为半径画弧， $C$ 为圆心， $C D$ 为半径画弧；两弧交于点 $E$ ，连接 $B E$ ， $C E$ ；则 $△ C B E ≌ △ C A D$ ．
选择填空：得出 $△ C B E ≌ △ C A D$ 的依据是______（填序号）．
① $SSS$ ② $SAS$ ③ $ASA$ ④ $AAS$
【测量发现】如图2，在（1）中 $△ C B E ≌ △ C A D$ 的条件下，连接 $A E$ ．兴趣小组用几何画板测量发现 $△ C A E$ 和 $△ C D B$ 的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段 $A C$ 至点 $F$ ，使 $C F = C A$ ，连接 $E F$ ，从而得以证明．请完成证明过程．
【迁移应用】（3）如图3， $A B = 4$ ， $∠ A B M = ∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $∠ A = ∠ A B C = 45 °$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上， $B D = 1$ ，在射线 $B M$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $S_{△ A C E} = S_{△ B C D}$ ？若存在，请直接写出 $B E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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15、计算： ${(- a^{3})}^{2} =$ ．

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16、某数学实践小组的同学把测量某塔

M N

作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表：

课题

测量某塔 $M N$ 的高度

测量工具

皮尺、标杆、测角仪等

测量方案示意图

说明

如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度 $A B$ 为 $1 m$ 时，恰好测得点M的仰角为 $54 ． 5 °$ ；某一时刻，塔 $M N$ 在阳光下的影子为 $D N$ ，来回调整标杆 $C E$ 的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得 $A C = 20$ m， $C D = 5 m$ ．已知标杆 $C E$ 的高度为 $4m$ ， $M N ⊥ D N$ ， $A B ⊥ D N$ ， $C E ⊥ D N$ ，点D，C，A，N在一条直线上．

请根据上述方案及其数据求出这个塔 $M N$ 的高度．（结果精确到 $1m$ ；参考数据： $\sin 54.5 ° \approx 0.81$ ， $\cos 54.5 ° \approx 0.58$ ， $\tan 54.5 ° \approx 1.40$ ）

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17、综合与实践
八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $M$ 在边 $A D$ 上，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M C$ 折叠，使点 $D$ 落在点 $D^{'}$ 处， $M D^{'}$ 与 $B C$ 交于点 $N$ ．根据以上操作，易得 $∠ C M D = ∠ C M D^{'}$ ，再结合矩形的性质，可得 $∠ C M D = ∠ M C N$ ，进而得到 $M N = C N$ ．
【初步应用】
如图2，继续将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使 $A M$ 恰好落在直线 $M D^{'}$ 上，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处，折痕为 $M E$ ．
（1）求证： $E C = 2 M N$ ．
（2）若 $C D = 2$ ， $M D = 4$ ，求 $E C$ 的长．
【迁移探究】
如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作：
步骤一：对折正方形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平．
步骤二：在 $A D$ 上选一点 $P$ ，沿 $B P$ 折叠，使点 $A$ 落在正方形内部的点 $M$ 处，把纸片展平，连接 $P M$ ， $B M$ ，延长 $P M$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $B Q$ ．
（3）若正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $8 cm$ ， $F Q = 1 cm$ ，直接写出 $A P$ 的长．

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18、2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.2025年蛇年春节是春节“申遗”成功后的第一个春节，某中学为了提高学生对“非遗文化”的了解，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩（竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分分别记为10分、9分、8分、7分）进行整理分析，并绘制统计图、表如下：
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38

(1)、根据以上信息，直接写出： $a =$ ______， $b =$ ______．把七年级竞赛成绩的条形统计图补充完整．

(2)、请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级，并说明理由．

(3)、若该校七年级有学生500人参加本次知识竞赛，八年级有学生450人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请你估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生共有多少人．

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19、如图，某校劳动实践基地用总长为 $80 m$ 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 $42 m$ ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位： $m^{2}$ ）．

(1)、直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）；

(2)、矩形实验田的面积S能达到 $750 m^{2}$ 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；

(3)、当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

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20、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm ， B C = 4 cm$ ，点P从点A出发，以每秒 $4 cm$ 的速度沿折线 $A B - B C$ 运动，同时点Q从点C出发，以每秒 $1.5 cm$ 的速度沿射线 $C B$ 方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)、当点P在 $A B$ 上运动时， $B P =$ _____ $cm$ ．（用含t的代数式表示）

(2)、当点P在 $B C$ 上运动时， $B P =$ _____ $cm$ （用含t的代数式表示）；当点P运动到 $B C$ 的中点时，求线段 $B Q$ 的长；

(3)、当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．

(4)、当点P在 $B C$ 上运动时，连接 $A P 、 A Q$ ．直接写出 $△ A P Q$ 的面积是 ${3cm}^{2}$ 时t的值．

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抛掷次数n	100	300	500	700	800	900	1000
钉尖着地的频数m	36	111	190	266	312	351	390
钉尖着地的频率	0.36	0.37	0.38	0.38	0.39	0.39	0.39

$d /$ 天	$0$	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$	$35$	$40$	$45$	$\dots$
$y_{1} / %$	$0$	$0.56$	$0.84$	$1.12$	$1.40$	$1.68$	$1.96$	$a$	$2.52$	$\dots$
$y_{2} / %$	$0$	$2.8$	$5.0$	$6.8$	$9.1$	$10.6$	$12.2$	$13.5$	$16.8$	$\dots$

年级	平均分	中位数	众数	方差
七年级	8.76	a	9	1.06
八年级	8.76	8	b	1.38