相关试卷

1、如图，字母A所代表的正方形的面积为（）

A、6 B、7 C、10 D、25

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2、如图，直线 $a ∥ b$ ，若 $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $52 °$ B、 $38 °$ C、 $58 °$ D、 $142 °$

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3、某数学兴趣小组进行如下探究：
如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A M$ 是它的中线，则中线平分三角形的面积，即 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ A M C}} = \frac{B M}{M C} = 1$ ．
继续探究，如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的面积比等于图中两组不同的线段比，即 $①$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} = \frac{B D}{C D}$ ， $②$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ ________．

(1)、【猜想结论】 $②$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ ___________；

(2)、【证明结论】请证明（ $1$ ）中你所猜想的结论；

(3)、【应用结论】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线， $B D = 2 C D$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $C E$ ．
$①$ 求证： $A D$ 垂直平分 $C E$ ；
$②$ 在图中画出 $△ A B D$ 边 $A D$ 上的高 $B F$ （只需体现 $B F$ 的位置），则 $\frac{S_{△ B D F}}{S_{△ A C D}}$ ___________．（无需证明）

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4、小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
求作：线段 $C D$ ，使得线段 $C D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ，与斜边 $A B$ 相交于点 $D$ ；②连接 $C D$ ，则线段 $C D$ 为所求．

(1)、请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵$ 直线 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线．点 $D$ 在直线 $M N$ 上，
$∴ D C =$ ___________．（___________）（填推理的依据）
$∴ ∠ A = ∠$ ___________．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ，
$∴ ∠ B C D = 90 ° - ∠ A C D$ ．
$∠ B = 90 ° - ∠$ ___________．
$∴ ∠ B C D = ∠ B$ ．
$∴ D C = D B$ ．（___________）（填推理的依据）
$∴ △ D C B$ 和 $△ D C A$ 都是等腰三角形．

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5、如图，和谐广场有一块长为 $(4 a + 2 b)$ 米、宽 $(3 a + b)$ 米的长方形空地，角上有两块边长均为 $(a - b)$ 米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）

(1)、用含有 $a ， b$ 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

(2)、若 $a = 30$ ， $b = 10$ ，求出绿化的总面积．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上，沿 $A D$ 将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与 $B C$ 边上的点 $C^{'}$ 重合，展开后得到折痕a．

(1)、折痕a是 $△ A B C$ 的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”）

(2)、若 $∠ B A C^{'} = 10 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ D A C$ 的度数．

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M$ ，点 $N$ ，点 $P$ ，若 $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，且 $P N \leq P M$ ，则称点 $N$ 为点 $M$ 关于点 $P$ 的“正矩点”．

(1)、如图1所示的平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $S (1, 4), P_{1} (- 4, 1)$ ， $P_{2} (- 2, 4), P_{3} (2, \frac{1}{2}), P_{4} (- 1, - 2)$ ，其中点 $S$ 关于原点 $O$ 的“正矩点”是；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 3), B (5, 0)$ ，点 $D ， E$ 分别为 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴上的动点，点 $D$ 关于点 $E$ 的“正矩点”记为点 $C (x_{C}, y_{C})$ ，点 $C (x_{C}, y_{C})$ 在第一象限．
①当点 $E$ 与 $A$ 重合， $O D$ 小于4时，求点 $C$ 纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围；
②当点 $E ， D$ 分别在线段 $O A ， O B$ 上运动时，直接写出符合题意的点C $(x_{C}, y_{C})$ 形成区域的面积．

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8、如图，在四边形 $A B C F$ 中，D，E分别是边 $A F$ ， $B C$ 上的动点，将四边形 $A B C F$ 沿 $D E$ 折叠，

(1)、如图1， $∠ A^{'}$ ， $∠ B^{'}$ 与 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 的数量关系是，

(2)、如图2， $∠ A^{'}$ ， $∠ B^{'}$ 与 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 的数量关系是．

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9、如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 2)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、平移 $△ A B C$ ，若 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(0, - 3)$ ，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2} ；$

(3)、在 $x$ 轴上有一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小，请直接写出点 $P$ 的坐标．

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10、如图一，四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B ＝ C B$ ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
小张同学想到了一种画出筝形的方法如下，请你和他一起完成作图和说理：

(1)、如图二，先任意画一个 $△ A B C$ ；

(2)、作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ；（请利用圆规和无刻度的直尺，尺规作图，保留作图痕迹）

(3)、过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ；

(4)、根据角平分线的性质得　     　＝　     　；
进而可以证明△　     　≌△　     　，
根据全等三角形性质可以得到则　     　＝　     　；
四边形　     　为筝形．

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11、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 中点，若 $A D$ 的长是整数，则 $A D =$ ．

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12、如图， $P$ 是射线 $O N$ 上一动点， $∠ O = 30^{\circ}$ ，则当 $∠ A$ 的度数为时，△AOP为等腰三角形．

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13、如图，在等边 $△ A B C$ 和等边 $△ E C D$ 中， $B$ ， $C$ ， $D$ 三点共线， $A C$ 与 $B E$ ， $A D$ 与 $B E ， A D$ 与 $C E$ 分别交于点 $F$ ，点 $H$ ，点 $G$ ，下列四个结论中：① $A D = B E$ ；② $C H$ 平分 $∠ B H D$ ；③ $F G ∥ B D$ ；④ $E H + C H = D H$ ．所有正确的结论是（）

A、①② B、①②③ C、①③④ D、①②③④

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14、下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、综合与实践
随着出行方式的多样化，某市三种打车方式的收费标准如下：
出租车
滴滴快车
高德快车
3千米以内：10元
路程： $1.2$ 元/千米
路程： $1.6$ 元/千米
超过3千米的部分： $2.4$ 元/千米
时间： $0.6$ 元/分钟
时间： $0.4$ 元/分钟
已知三种打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐8千米．耗时 $8 \div 40 \times 60 = 12$ 分钟．出租车的收费为： $10 + 2.4 \times (8 - 3) = 22$ （元）；滴滴快车的收费为： $8 \times 1.2 + 12 \times 0.6 = 16.8$ （元）；高德快车的收费为： $8 \times 1.6 + 12 \times 0.4 = 17.6$ （元）．

(1)、如果乘车路程10千米，使用高德快车，需支付的费用是元；

(2)、如果乘车路程x（ $x > 3$ ）千米，请分别求出使用出租车、滴滴快车、高德快车出行乘客所需支付的费用；

(3)、高德快车和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免10元；高德快车车费半价优惠．若一个乘客通过计算发现乘车路程超过6千米时，使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元，求这个乘客的乘车路程是多少千米?

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16、已知 $O$ 是直线 $A B$ 上的一点， $∠ C O D$ 是直角．

(1)、如图1，若 $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，当 $∠ B O F = 25 °$ 时，求 $∠ A O C$ 的度数；

(2)、如图2， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ， $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，求 $∠ E O F$ 的度数；

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17、如图，表中给出的是某月的日历表，在该表中任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①70；②84；③105；④140，其中正确的可能有．（填写序号）

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18、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在一条直线上，如果 $∠ 1 = 27 ° 2 4^{'}$ ，那么 $∠ 2 =$ ．

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19、实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
【知识生成】（1）一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个 ${(a - b)}^{2} ， {(a + b)}^{2}$ ， $a b$ 三者之间的等量关系式：__________________．
【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若 $a + b = 10, a b = 5$ ，求 ${(a - b)}^{2}$ 的值：
【类比迁移】（3）如图3，若 $a + 2 b = 16, a - 2 b = 4$ ，求阴影部分的面积．

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20、阅读并解决相应问题
在数轴上，点A表示的数为 $- 2$ ，点B表示的数为3．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”如图1，若点P表示的数为 $\frac{1}{2}$ ，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 $\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$ ，则称点P为点A、B的“5节点”．

(1)、填空：
①若点P表示的数为0，则n的值为________；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．

(2)、类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值．

(3)、拓展延伸：
若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的 $\frac{2}{3}$ ，且此时点P为点A、B的“n节点”，求点P表示的数及n的值．

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出租车	滴滴快车	高德快车
3千米以内：10元	路程： $1.2$ 元/千米	路程： $1.6$ 元/千米
超过3千米的部分： $2.4$ 元/千米	时间： $0.6$ 元/分钟	时间： $0.4$ 元/分钟