相关试卷

1、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B$ 可能的度数是（）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

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2、若分式 $\frac{x - 1}{x - 2}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3、近年来，人工智能大模型的参数量飞速增长．某大模型的参数量约为175000000000个，数据175000000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.75 \times 10^{9}$ B、 $1.75 \times 10^{10}$ C、 $1.75 \times 10^{11}$ D、 $1.75 \times 10^{12}$

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4、某同学家的冰箱有冷藏室、零度保鲜室和冷冻室三层，分别设置温度为 $4 ℃$ ， $0 ℃$ 和 $- 18 ℃$ ．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（）

A、 $4 ℃$ B、 $14 ℃$ C、 $18 ℃$ D、 $22 ℃$

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5、如图，矩形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 是对角线，点 $E$ 在 $\overset{⌢}{A D}$ 上（不与点 $A, D$ 重合），连接 $E C$ 分别交 $A D, B D$ 于点 $H$ ， $G$ ， $B F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $F G = F C$ ，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $P$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 为 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点， $B D = 2$ 时，
①求证： $∠ A B E = ∠ C B F$ ．
②求 $\overset{⌢}{E C}$ 的长．

(2)、如图2，若 $tan ∠ A D B = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{A P}{P H}$ 的值．

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6、设二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ （ $a, b$ 为常数， $a \neq 0$ ）．已知函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应取值如下表所示：
$x$
…
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
$n$
1
$p$
$m$
…

(1)、若 $m = 1$ ， $n = 4$ ，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的 $x$ 的取值范围，使得 $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

(2)、当 $m = 0$ ， $n > 2$ 时，求 $p$ 的取值范围．

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7、综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点 $B, C$ 处同时测得热气球 $A$ 的仰角 $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ A C D = 53 °$ ， $B C = 15 m$ ，点 $B, C, D$ 在地面的同一条直线上， $A D ⊥ B D$ 于点 $D$ ．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度 $A D$ ．（参考数据： $sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形 $A B C$ 中，设 $∠ A B C = α$ ， $∠ A C B = β$ ， $B C = m$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，用含 $α, β$ 和 $m$ 的代数式表示 $A D$ ．
解：设 $A D = x$ ，因为 $tan α = \frac{A D}{B D} = \frac{x}{B D}$ ，
所以 $B D = \frac{x}{tan α}$ ．
同理，因为 $tan β = \frac{A D}{C D} = \frac{x}{C D}$ ，
所以 $C D =$ $\underline{①}$ ．
因为 $B C = B D + C D = m$ ，
解得 $x =$ $\underline{②}$ ．
即可求得 $A D$ 的长．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画圆弧，与 $B C$ 边交于点 $E, F$ ， $B E < B F$ ，连接 $A E$ ， $A F$ ， $∠ E A F = 60 °$ ．

(1)、判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由．

(2)、求证： $△ A B E ∽ △ C A F$ ．

(3)、若 $B E = 2$ ， $E F = 3$ ，求线段 $C F$ 的长．

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9、在直角坐标系中，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 与函数 $y_{2} = k_{2} x + b$ （ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $b$ 是常数， $k_{1} k_{2} \neq 0$ ）的图象交于点 $A (1, 4)$ ， $B (- 2, t)$ ．

(1)、求函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的表达式．

(2)、当 $x > 2$ 时，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．（直接写出结果）

(3)、若点 $C$ 在函数 $y_{2}$ 的图象上，将点 $C$ 先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点 $D$ ，点 $D$ 恰好落在函数 $y_{1}$ 的图象上，求点 $C$ 的坐标．

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 分别为 $A O$ ， $C O$ 的中点，连接 $E B$ ， $B F$ ， $F D$ ， $D E$ ．

(1)、求证：四边形 $B F D E$ 是平行四边形．

(2)、若 $∠ A B D = 90 °$ ， $A B = 2 B O = 4$ ，求线段 $B E$ 的长．

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11、某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
$a$ 分
9分
9分
八年级
8.8分
9分
$b$ 分

(1)、根据以上信息填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、把条形统计图补充完整；

(3)、若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．

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12、以下是芳芳解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 < 4 x ① \\ 5 x - 3 < 3 (x + 1) ② \end{matrix}$ 的解答过程：
解：由①，得 $- x < 2$ ，所以 $x < - 2$ ．
由②，得 $5 x - 3 < 3 x + 1$ ，所以 $2 x < 4$ ，所以 $x < 2$ ．
所以原不等式组的解是 $x < - 2$ ．
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

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13、如图是一张菱形纸片 $A B C D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 边上， $C E ⊥ A D$ ，把 $△ C E D$ 沿直线 $C E$ 折叠得到 $△ C E D^{'}$ ，点 $D^{'}$ 落在 $D A$ 的延长线上．若 $C D^{'}$ 恰好平分 $∠ A C B$ ，则 $∠ A B C =$ °， $\frac{B C}{A D^{'}} =$ ．

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14、已知二次函数 $y = x^{2} - a$ 与一次函数 $y = 2 x + 2 a$ （ $a$ 是常数）的图象交于两个不同的点 $A, B$ ，若点 $A$ 的横坐标是 $- 1$ ，则点 $B$ 的横坐标是．

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15、如图， $⊙ O$ 的切线 $P A$ 与直径 $C B$ 的延长线交于点 $A$ ，点 $P$ 为切点，连接 $P C$ ．若 $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为°．

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16、计算： ${(- 2)}^{2} =$ ； $\sqrt{2} + \sqrt{8} =$ ．

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17、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在以 $A E$ 为直径的半圆上， $E F = E B$ ，延长 $E F$ ， $A F$ 分别交 $C D$ 于点 $G, H$ ，则 $D G : H C$ 的值为（）

A、 $2 : 1$ B、 $4 : 3$ C、 $5 : 4$ D、 $\sqrt{2} : 1$

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18、已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ （ $a, c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的图象经过点 $(t, y_{1})$ ， $(t + 1, y_{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a > 0$ ， $t > 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ B、若 $a > 0$ ， $t < 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ C、若 $a < 0$ ， $t > 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ D、若 $a < 0$ ， $t < 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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19、《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，则（）

A、 $\{\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$

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20、已知 $a, b, c$ 是实数，若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则（）

A、 $a + c < b + c$ B、 $a c > b c$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a - c < b$

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年级	平均数	中位数	众数
七年级	$a$ 分	9分	9分
八年级	8.8分	9分	$b$ 分

$x$	…	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	$n$	1	$p$	$m$	…