相关试卷

1、 $2025$ 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、如图，等边 $△ A B C$ 的边长为6， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．
【初步感知】（1）如图1，若 $B D = 2$ ，求 $A D$ 的长．
【深入探究】（2）如图2，线段 $C D$ 的垂直平分线交 $D E$ 于点 $F$ ，点 $G$ 为 $A D$ 的中点，连接 $B G 、 B F 、 G F$ ，求证： $B G ⊥ G F$ ．
【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若 $B D = x (0 \leq x \leq 6) ， G F^{2} = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的关系．

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3、综合与实践
【主题】运动场设计
【素材】某中学为迎接运动会，计划翻新校园田径场，原场地为半圆式跑道（如图），直道长度 $L = 85.96$ 米，弯道为半圆形，最内侧跑道（第1道）弯道半径 $r_{1} = 36$ 米，共8条跑道，每条跑道宽1.22米．（其中跑道半径按内径计算， $π = 3.1416$ ）
【实践探究】

(1)、计算验证第1道跑道是否符合 $400 m$ 标准跑道要求（第一圈跑道不能小于 $400 m$ ）．（结果保留2位小数）

(2)、体育组发现：当所有跑道起点、终点均为同一条直线时（如图），第6道运动员跑完2圈时，电子计步器显示实际跑动距离为 $873 m$ ．请结合跑道结构图解释此现象．

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4、某数学兴趣小组想要利用所学的知识测量某栋大楼的高度，记录如下：

课题	测量大楼的高度 $A B$
活动方案	方案一	方案二
测量方案示意图
实施方案	1、选取与大楼底部 $B$ 位于同一水平地面的 $D$ 处； 2、在 $D$ 处，测量大楼顶部 $A$ 的仰角 $∠ A D B$ ； 3、沿着 $B D$ 方向走至 $C$ 处，测量大楼顶部 $A$ 处的仰角 $∠ A C B$ ； 4、测量 $C$ 、 $D$ 之间的距离．	1、选取大楼旁的建筑物 $G H$ ； 2、在 $G$ 处，测量大楼顶部 $A$ 处的仰角 $∠ A G E$ ； 3、在 $G$ 处，测量大楼底部 $B$ 处的俯角 $∠ E G B$ ； 4、测量大楼 $A B$ 与建筑物 $G H$ 之间的距离 $B H$ ．
测量数据	$∠ A C B = 37 °$ ， $∠ A D B = 45 °$ ， $C D = 24 m$	$∠ A G E = 40 °$ ， $∠ B G E = 31 °$ ， $B H = 50 m$
备注	1、图上所有点均在同一平面； 2、 $sin 37 ° \approx 0.60$ ， $cos 37 ° \approx 0.80$ ， $tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$	1、图上所有点均在同一平面； 2、 $sin 40 ° \approx 0.64$ ， $cos 40 ° \approx 0.77$ ， $tan 40 ° \approx 0.84$ ， $sin 31 ° \approx 0.52$ ， $cos 31 ° \approx 0.86$ ， $tan 31 ° \approx 0.60$

请选择其中一个方案及其测量数据求出大楼的高度 $A B$ ．（结果精确到 $1 m$ ）

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5、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 2025)}^{0} + |- 3| + \sqrt{8}$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ，点D、E分别是 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且 $A D = B E$ ，连接 $C D$ ， $A E$ ，则 $C D + A E$ 的最小值是．

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7、使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数 $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 5}$ 的定义域为．

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8、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于A、B两点，P是以点 $C (- 4, 0)$ 为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10} + 1}{2}$

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9、我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“ $i$ ”，其运算规则是： $i^{1} = i$ ， $i^{2} = - 1$ ， $i^{3} = - i$ ， $i^{4} = 1$ ， $i^{5} = i$ ， $i^{6} = - 1$ ， $i^{7} = - i$ ，则 $i^{2025}$ 的值是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $- 1$

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10、关于二次函数 $y = 2 x^{2} - 16 x + 38$ 的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A、有最大值3 B、有最小值3 C、有最大值6 D、有最小值6

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $C$ 在直线 $l_{1}$ 上．若 $∠ 1 = 32 °$ ， $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $48 °$ B、 $58 °$ C、 $68 °$ D、 $78 °$

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12、从“我命由我不由天”这句话中随机选取一个汉字，选取“我”字的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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13、把 $x^{3} + 4 x$ 分解因式，结果正确的是（）

A、 $x (x^{2} + 4)$ B、 $x {(x + 2)}^{2}$ C、 $x {(x - 2)}^{2}$ D、 $x (x + 2) (x - 2)$

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14、已知直线 $y = 2 x - k$ 经过点 $(- 3, 1)$ ，则 $k$ 的值等于（）

A、5 B、 $- 5$ C、7 D、 $- 7$

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15、下列实数中，最小的数是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、0 C、 $- 4$ D、 $π$

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16、如图1， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，连接 $E C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ C E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $M$ ，交 $C A$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ F = ∠ E C B$ ；

(2)、如图2，连接 $E A, E B, A M$ ，
①若 $A B = 10$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $A M$ 的长度；
②如图3，若点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，过点 $F$ 作 $F G ∥ E C$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ，
求证： $B D^{2} = E D \cdot F G$ ．

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17、在平面直角坐标系中，抛物线 $W_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于 $A (1, 0)$ ， B两点，与y轴交于点C．

(1)、求b的值；

(2)、如图1，点P是直线 $B C$ 上方抛物线上一点，横坐标设为m，且 $- 6 < m < - \frac{5}{2}$ ．连接 $O P$ ，交 $B C$ 于点D， $P D = \frac{5}{6} O D$ ．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线 $W_{1}$ 沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线 $W_{2}$ ，点F为点P平移后的对应点，连接 $A F$ 交y轴于点M．点N为抛物线 $W_{2}$ 上任意一点，连接 $M N$ ．若 $∠ N M F - ∠ A B C = 45 °$ ，求线段 $M N$ 的长．

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18、综合与实践

目标	篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具	测角仪、卷尺
素材1	小敏借助测角仪测得： $∠ B E D = 90 °$ ， $∠ C A B = 150 °$ ， $∠ A B E = 120 °$ ．
素材2	为计算篮球架的伸臂 $A C$ 距离地面的高度，小明在点 $M$ 处测得： $E M = 4.8$ 米， $∠ C M E = 60 °$ .在距离点 $M$ 左侧 $1.2$ 米的 $N$ 处测得： $∠ C N E = 45 °$ ．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）
任务一	利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂 $A C ∥$ 地面 $D E$ ，支架 $B E ⊥$ 地面 $D E$ ）．
任务二	利用素材2，求篮球架的伸臂 $A C$ 距离地面 $D E$ 的高度．（结果保留一位小数）

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为线段 $A B$ 上任意一点．

(1)、尺规作图：作线段 $C D$ 的垂直平分线，分别交 $A C$ ， $B C$ 于点E，F，连接 $D E$ ， $D F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的基础上，线段 $C D$ 与 $E F$ 交于点G，已知________（请从“① $C D$ 平分 $∠ A C B$ ；②点G为 $E F$ 中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．
求证：四边形 $C E D F$ 是菱形．

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20、某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．

(1)、求A、B两款吉祥物的销售单价；

(2)、A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？

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