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1、 $2024$ 年中国新能源汽车产销量突破了 $1300$ 万辆，这个数字是全球的 $70 %$ ，也是连续 $10$ 年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型
人数
所占百分比
纯电
$22$
$a %$
混动

$b %$
氢燃料
$4$

油车

$15 %$
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、分别求出表中 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若此次汽车展览会的参展人员共有 $6000$ 人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数；

(3)、在喜欢氢燃料的 $4$ 人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．

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2、（1）计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + 2 \cos 30 ° - \sqrt{16} + |1 - \sqrt{3}|$ ．
（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 2 > 2 (x + 1) \\ \frac{x - 3}{2} \leq \frac{x - 1}{3} \end{matrix}$ ．

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3、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B =60 °$ ， M是 $B C$ 的中点，点P是 $C D$ 上一动点，连接 $P A$ ， $P M$ ，则 $P A + P M$ 的最小值为．

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{2 - m}{x}$ 的图象上，当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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5、如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，A，B为切点，若 $∠ P = 60 °$ ， $O A = 3$ ，则图中阴影部分的面积为．

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6、方程 $\frac{1}{1 - x} - \frac{2 - x}{x - 1} = 2$ 的解是．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 $M N$ ，直线 $M N$ 与 $A B$ 相交于点D，连接 $C D$ ，若 $B D = 5$ ， $A C = 8$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重 $16$ 两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只 $x$ 两，燕每只 $y$ 两，则可列出方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 6 x + 5 y = 16 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 6 x + 5 y = 16 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{matrix}$

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，则下列说法正确的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $∠ A B C = ∠ B A C$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A C = A D$

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10、某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数，中位数分别是（）

A、45，39 B、39，39 C、39，40 D、45，41

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11、下列计算正确的是（）

A、 ${(- 2 x)}^{2} = - 4 x^{2}$ B、 $5 x + 12 x = 17 x^{2}$ C、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 2 x + 4$ D、 $(x + 3 y) (x - 3 y) = x^{2} - 9 y^{2}$

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12、在 $- \frac{1}{2}$ ， $- 5$ ， $- 3$ ， $2$ 这四个数中，最小的数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、 $2$

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13、药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点 $O$ 和点 $A$ ，点 $O$ 与点 $A$ 到地面的距离相等， $O A = 8 dm$ ，以 $O A$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $O A$ 的直线为 $y$ 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为 $H (4, - \frac{1}{2})$ ，下沿抛物线的顶点为 $P$ ，上沿抛物线的顶点 $H$ 比 $P$ 点高 $\frac{7}{2} dm$ ．

(1)、求出上沿抛物线的函数表达式．

(2)、点 $B$ 是支撑架与下沿抛物线的交点，过点 $B$ 作 $B D ⊥ O A$ 于点 $D$ ，交上沿抛物线于点 $E$ ， $B E = \frac{21}{8} dm$ ，求点 $B$ 的坐标．

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14、我们常常把一张 $A 4$ 纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张 $A 4$ 纸张（矩形 $A B C D$ ），如图2，设折叠后 $B^{'} C$ 边与 $A D$ 边重叠的点为 $E$ ．

(1)、请用尺规作图的方式在图2中画出点 $E$ ．

(2)、根据以上折纸活动的提示，描述折出 $A 4$ 纸（矩形 $A B C D$ ）对角线的两个步骤．

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15、如图，反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象过点 $A (- 2, a)$ ，直线 $x = 4$ 与该反比例函数图象和 $x$ 轴分别交于点 $B$ 和点 $D$ ，连结 $A D$ ．

(1)、求 $△ A D B$ 的面积．

(2)、若点 $P (m, n) (m > 0)$ 在反比例函数图象上，当 $P D ⊥ A D$ ，求点 $P$ 的坐标．

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16、如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ ， $D C$ 上的点，且 $B E = D F$ ，过 $F$ 点作 $A E$ 的垂线交 $A B$ 于 $H$ ．

(1)、求证： $A E = H F$ ．

(2)、请写出 $A H$ 与 $B E$ 之间的数量关系并证明．

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17、为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分
操作规范性和书写准确性的得分统计表

操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
甲
4
$S_{1}^{2}$
1.8
$a$
乙
4
$S_{2}^{2}$
$b$
2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
1
1
2
2
2
3
1
3
2
1
乙
1
2
2
3
3
3
2
1
2
1
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．

(2)、综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．

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18、（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为 $60 °$ ，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为 $40 °$ ，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到 $0.1$ 米，可参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ）

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19、（1）化简： $\sqrt{8} - \sqrt{2}$
（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} x + 1 \geq 2 \\ 2 x - 1 < x + 2 \end{matrix}$ ．

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20、如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点 $D$ 为 $A B$ 延长线上一点， $A B : A D = 3 : 5$ ，过 $D$ 作 $C B$ 所在直线的垂线，垂足为 $E$ ，连结 $C D$ ， $F$ 为 $D C$ 中点，则线段 $E F$ 的长是．

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类型	人数	所占百分比
纯电	$22$	$a %$
混动		$b %$
氢燃料	$4$
油车		$15 %$

	操作规范性		书写准确性
	平均数	方差	平均数	中位数
甲	4	$S_{1}^{2}$	1.8	$a$
乙	4	$S_{2}^{2}$	$b$	2