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1、如图，在 $6 \times 6$ 网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段 $A B$ 的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．

(1)、如图1，画与 $A B$ 关于点O的中心对称的图形；

(2)、如图2，画一个以 $A B$ 为边，且面积为12的平行四边形；

(3)、如图3，画一个以 $A B$ 为对角线，且面积为9的平行四边形．

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2、解方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$

(2)、 ${(3 x + 1)}^{2} = 2 (3 x + 1)$

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3、计算：

(1)、 $\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{12}$

(2)、 $\sqrt{3} \times \sqrt{15} - \sqrt{20} + 5 \sqrt{\frac{1}{5}}$

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4、如图1，在四边形 $A B C D$ 中，依次取四边中点E，F， H， G，连结 $E G$ ， $F H$ ． P是线段 $E G$ 上的一点，连结 $A P$ ，作 $C Q ∥ A P$ 交 $F H$ 于点 Q．分别沿 $F H$ ， $E G$ ， $A P$ ， $C Q$ 将四边形 $A B C D$ 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 $M N R S$ ．
（1） $\frac{E G}{M N} =$ ．
（2）如图2，连结 $A C$ ， $B D$ 交于点O，若 $A C = 8 ， B D = 6 ， ∠ A O D = 45 °$ ，则四边形 $M N R S$ 的周长最小值是．

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5、已知关于x的一元二次方程 $3 x^{2} + 6 (a - 2) x - 24 a = 0$ 有两个相等的实数根，则常数 $a =$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A C$ 、 $A B$ 为边向外作等腰 $Rt △ A C G$ 和等腰 $Rt △ A B D$ ，若要求 $△ A C D$ 的面积，只需知道哪个图形的面积（）

A、 $△ A B C$ B、 $△ A B G$ C、 $△ A B D$ D、四边形 $A B C D$

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7、如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为 $12 m$ 的住房墙，另外三边用 $25 m$ 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 $1 m$ 宽的门，花圃面积为 $80 m^{2}$ ，设与墙垂直的一边长为 $x m$ （已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（）

A、 $x (26 - 2 x) = 80$ B、 $x (24 - 2 x) = 80$ C、 $(x - 1) (26 - 2 x) = 80$ D、 $x (25 - 2 x) = 80$

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8、如图， $P$ 为矩形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上的一点，过点 $P$ 作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B$ 、 $C D$ 于点 $E$ 、 $F$ ，若 $B E = 2$ ， $F P = 6$ ， $△ A E P$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C F P$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + S_{2}$ （）

A、12 B、8 C、6 D、10

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9、形如 $(x + m)^{2} = n (n \geq 0)$ 的方程，它的根是（）

A、 $x = \pm \sqrt{n}$ B、 $x = \pm m + \sqrt{n}$ C、 $x = \pm \sqrt{n - m}$ D、 $x = - m \pm \sqrt{n}$

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10、数据0， $- 1$ ， 6，1， $x$ 的众数是 $- 1$ ，则这组数据的方差为（）

A、2 B、 $\frac{34}{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{26}{5}$

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11、下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 2$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ C、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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12、下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、 $3 x + 5 y = 0$ B、 $5 x + 2 = 0$ C、 $3 x^{2} - 2025 = 0$ D、 $2 x - \frac{1}{x} = 0$

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13、下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．

无理数的估算

大家知道 $\sqrt{3}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{3}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用 $\sqrt{3} - 1$ 来表示 $\sqrt{3}$ 的小数部分，你同意我的表示方法吗？

事实上，我的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{3}$ 的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

例如：

$∵ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ 即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，

$∴ \sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ．

根据以上笔记内容，请完成如下任务．

(1)、任务一：

\sqrt{11}

的整数数部分为_____，小数部分为_______；

(2)、任务二：

a

为

\sqrt{5}

的小数部分，

b

为

\sqrt{17}

的整数部分，请计算

a + b - \sqrt{5}

的值；

(3)、任务三：

x + y = 10 + \sqrt{3}

，其中

x

是整数，且

0 < y < 1

，求

2 x - y

的值．

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14、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $∠ B = 90 °$ ，点D是 $B C$ 边上一动点（点D不与B，C重合），连接 $A D$ ，以 $A D$ 为边在直线 $A D$ 右侧作 $△ A D E$ ，使得 $△ A D E ∽ △ A B C$ ．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中， $△ A B D$ 与 $△ A C E$ 始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化， $D E$ 的位置随之发生变化，当 $A C$ 的中点M恰好落在 $D E$ 上时，求 $\tan ∠ B A D$ 的值．
【拓展延伸】
（3）如图3， $A C$ 交 $D E$ 于点F，P为 $A E$ 的中点．当 $△ P C D$ 为等边三角形时，求 $D F$ 的长．

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15、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a (a > 0)$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，若 $△ A B D$ 的面积是 $△ A C D$ 面积的两倍，求点D的坐标；

(3)、延长 $C D$ 交x轴于点F， $A D = D F$ ，试探究直线 $D E$ 是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

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16、在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有 $A$ ， $B$ 两个工种的工人共 $100$ 人，每月发工人工资 $280000$ 元， $A$ ， $B$ 两个工种的工人的月工资分别为 $2500$ 元和 $3000$ 元．

(1)、 $A$ ， $B$ 两个工种的工人各有多少人？

(2)、现工厂扩大生产投入，需再招聘 $A$ ， $B$ 两个工种的工人共 $50$ 名，招聘要求全工厂 $B$ 工种的人数不少于 $A$ 工种人数的 $2$ 倍，那么此次招聘 $A$ 工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．

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17、在综合实践活动中，数学兴趣小组对 $1 ~ n$ 这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于 $\frac{n}{2}$ 的取法种数k进行了探究．发现：当 $n = 2$ 时，只有 $\{1, 2\}$ 一种取法，即 $k = 1$ ；当 $n = 3$ 时，有 $\{1, 2\}$ 和 $\{2, 3\}$ 两种取法，即 $k = 2$ ；当 $n = 4$ 时，可得 $k = 5$ ；……．若 $n = 6$ 时，则k的值为；若 $n = 23$ ，则k的值为．

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，E为 $A C$ 上一点， $A E = D E$ ．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折叠得到 $△ F D E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点G．若 $\sin C = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{E G}{G C} =$ ．

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 图象上存在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，当 $m - 2 < x_{1} < x_{2} < m$ 时，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，则m的取值范围为．

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20、若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两个实数根，则 ${(m - 3)}^{2} - 2 n$ 的值为．

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