相关试卷

1、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点 $P (m, n)$ 满足： $\sqrt{m + n - 8} + |m - n| = 0$ ，过点P分别向x轴，y轴引垂线段，垂足分别为A，B两点，点C是线段 $O A$ 上一点，点D是线段 $P A$ 上一点，连接线段 $B C$ ， $B D$ ．

(1)、当点D在线段 $B C$ 的垂直平分线上且 $O C = P D$ 时，请判断 $△ B C D$ 的形状并说明理由；

(2)、如图2，过点C作 $B C$ 的垂线交 $B D$ 的延长线于点K且 $B C = C K$ ，连接 $A K$ ，求 $∠ P A K$ 的度数；

(3)、在第（2）问的前提下，连接 $C D$ ；
①求证： $C D = O C + P D$ ；
②令 $C D = x$ ， $O C = a$ ， $P D = b$ ，若a，b，t满足 $\{\begin{matrix} 2 a + 3 b = 17 + 7 t \\ a - 2 b = - 9 - 7 t \end{matrix}$ ；问：是否存在实数m，使得代数式 $x + m t$ 的值为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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2、【长沙市华益中学以公仆仁毅为魂，培育胸怀天下的担当；让生命温暖而幸福，构建浸润心灵的港湾，在华益这里，每个梦想都被悉心呵护，每段青春都能璀璨生辉！】我们约定：如果 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程 $a x + b y = c (a \neq 0, b \neq 0)$ 的一组解，我们不妨把这样的解写成点的坐标的形式 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ ，并把这样的点称为该方程的“解点”，若将“解点” $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 作关于x轴对称，得到对称点 $P_{1}$ ，再将 $P_{1}$ 向左移2个单位，向上移4个单位，得到点 $P_{2}$ ，若此时点 $P_{2}$ 也是二元一次方程 $a x + b y = c$ 的一个“解点”，则把 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 称为“温暖点”， $P_{2}$ 称为“幸福点”，一般地，一个二元一次方程存在无数个“解点”．

(1)、判断正误(真命题的打√，假命题的打×)
①点 $(2, - 4)$ 是二元一次方程 $3 x + 2 y = 2$ 的一个“解点”(                            )；
②若点 $M (m, m - 2)$ 是二元一次方程 $2 x - y = 7$ 的一个“解点”，则点M与点 $(9, - 11)$ 关于y轴对称．(                            )；
③点 $(2, 0)$ 是二元一次方程 $2 x + y = 4$ 的“温暖点”(                            )．

(2)、已知点 $T (a, b)$ 既是方程 $x - y = 1$ 的“解点”又是方程 $x + 2 y = 10$ 的“解点”，求关于x，y的二元一次方程 $a x + b y = 6$ 的“幸福点”；

(3)、已知 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 是二元一次方程 $a x + b y = c (a \neq 0, b \neq 0)$ 的“温暖点”．
①请用含有字母a，b，c的代数式表示 $x_{0}$ ；
②若 $x_{0} = 2$ ，且 $b + c = 3 a - 1$ ， $b \leq 0$ ， $c \geq 0$ ，求a的取值范围．

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、求证： $A D + B C = C D$ ．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $Δ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (- 5, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ， $C (- 2, 2)$ ，将 $Δ A B C$ 先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于 $x$ 轴对称的图形，得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．
（1）写出点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 的坐标；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（3）求 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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5、长沙市某学校七年级在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母做家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就寒假“平均每天帮助父母做家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的不完整的统计图(每组包含最小值，不包含最大值)：
根据上述信息，回答下列问题：

(1)、在本次随机抽取的样本中，调查的学生总人数是人；在扇形统计图中，“ $20 ~ 30 min$ ”所在扇形对应的圆心角的度数为．

(2)、补全上面的频数分布直方图(请在矩形上方标上频数，不随手画图)

(3)、如果该校共有学生 $3500$ 人，请你估计“平均每天帮助父母做家务所用时长不少于 $30 min$ ”的学生有多少人．

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6、长沙市某教育单位为了全面了解本市2025年初中毕业学业考试学生对数学卷的答题情况，从全市 $10.5$ 万名考生中随机抽查了10个考场(每个考场均有30名)学生进行分析，则这次调查中的样本容量是．

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7、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，则 $∠ C =$ $°$ ．

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8、如图①，已知 $∠ A B C$ ，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线 $B A$ ， $B C$ 于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 内部交于点P；
第三步；画射线 $B P$ ，射线 $B P$ 即为所求．
下列叙述不正确的是（）

A、 $a > 0$ B、作图的原理是构造 $S S S$ 三角形全等 C、由第二步可知， $D P = E P$ D、 $b < \frac{1}{2} D E$ 的长

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9、以下调查中，适宜全面调查的是（）

A、调查某批次小米汽车的抗撞击能力 B、调查长沙市华益中学七年级30班学生的身高情况 C、调查2025年春节联欢晚会的收视率 D、调查长沙市居民日平均用水量

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上一动点 $($ 不与 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为始边顺时针作 $∠ A D E = β (α + β = 180 °)$ ， $D F$ 平分 $∠ A D E$ ．

【初步探究】如图 $1$ ， $D E$ 与 $A C$ 的延长线交于点 $E$ ，若 $α = 60 °$ ， $β = 120 °$ ， $C D = 2 B D$ ，求 $\frac{B D}{C F}$ 的值．
【类比迁移】如图 $2$ ， $D E$ 与 $A C$ 的延长线交于点 $E$ ，若 $α = β = 90 °$ ， $C D = 2 B D$ ，求 $\frac{C E}{C F}$ 的值．
【拓展应用】如图 $3$ ， $D E$ 与直线 $A C$ 交于点 $E$ ， $\frac{B C}{A B} = \frac{8}{5}$ ．
（ $1$ ）当 $E C = E D$ 且点 $E$ 在线段 $A C$ 上时， $\frac{B D}{C D}$ 的值．
（ $2$ ）当 $C D = C E$ 且点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上时，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值．

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11、在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，直线 $l_{2}$ 经过点 $E$ ，且与 $x$ 轴交于点 $C (\frac{7}{4}, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、如图 $1$ ，求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、如图 $2$ ，连接 $A C$ ，点 $P$ 为直线 $l_{2}$ 上一点且在 $E$ 点的右侧，线段 $F G$ 在 $x$ 轴上移动且 $F G = 2$ ，点 $G$ 在点 $F$ 的左侧，当四边形 $P A C B$ 的面积为 $\frac{45}{4}$ 时，求四边形 $A G F P$ 周长最小值；

(3)、如图 $3$ ，将 $△ A C B$ 沿着射线 $E C$ 方向平移 $2 \sqrt{17}$ 个单位长度，点 $A$ 的对应点是 $M$ ，点 $B$ 的对应点是 $N$ ，点 $K$ 为直线 $l_{2}$ 上一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $H$ ，使以 $M$ 、 $N$ 、 $K$ 、 $H$ 四点构成的四边形是以 $M N$ 为边的菱形，若存在，请直接写出点 $H$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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12、某商场有A、 $B$ 两种商品，一件 $B$ 商品的售价比一件A商品的售价多 $5$ 元，若用 $1500$ 元购进A种商品的数量恰好是用 $900$ 元购进 $B$ 种商品的数量的 $2$ 倍．

(1)、求A、 $B$ 两种商品每件售价各多少元；

(2)、 $B$ 商品每件的进价为 $20$ 元，按原售价销售，该商场每天可销售 $B$ 种商品 $100$ 件，假设销售单价每上涨一元， $B$ 种商品每天的销售量就减少 $5$ 件，设一件 $B$ 商品售价 $a$ 元， $B$ 种商品每天的销售利润为 $W$ 元，求 $B$ 种商品销售单价 $a$ 为多少元时， $B$ 种商品每天的销售利润 $W$ 最大，最大利润是多少元？

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，线段 $A C$ 的中垂线交 $A D$ 于点 $E$ ，若 $D E^{2} = C D \cdot B C$ ， $A E = D E$ ， $C D = 4$ ，则 $B D =$ ．

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14、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4 \sqrt{5}$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 边上一点，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ B^{'} D E$ ， $B^{'} E$ 与 $A D$ 交于点 $F$ ，若 $△ B E F$ 的面积是 $△ D E F$ 的 $3$ 倍，则 $C E$ 的长为．

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15、在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码

.

有一种密码，将

26

个大写英文字母

A

，

B

，

C

，

\dots

，

Z

依次对应

1

，

2

，

3

，

\dots

，

26

这

26

个自然数（见表格）．当明码对应的序号

x

为偶数时，密码对应的序号

y = \frac{x}{2}

；当明码对应的序号

x

为奇数时，密码对应的序号

y = \frac{x + 1}{2} + 13

．

字母	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$	$I$	$J$	$K$	$L$	$M$
序号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$
字母	$N$	$O$	$P$	$Q$	$R$	$S$	$T$	$U$	$V$	$W$	$X$	$Y$	$Z$
序号	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$

按上述规定，将明码“ $M L G Y$ ”译成密码是 $. ($ 填写由 $4$ 个大写字母组成的密码 $)$

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16、在数轴上，与 $\sqrt[3]{28}$ 最接近的整数是．

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17、如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 点中， $A (- 3, 0)$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上且 $O B = \frac{4}{3} O A$ ，直线 $A C ： y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 的图象交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、在 $y$ 轴上找一点 $Q$ ，使 $∠ Q A C = 2 ∠ C A O$ ，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，点 $P$ 是射线 $A C$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $C Q$ ，当 $△ A B C$ 与以点 $P$ 、 $Q$ 、 $C$ 为顶点的三角形相似时，求点 $P$ 的坐标．

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18、教材理解 $P 150 - 151$ 页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

(1)、已知：如图 $1$ ， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线 $.$ 求证： $D E ∥ B C$ ， $D E = \frac{1}{2} B C$ ；

(2)、应用：如图 $2$ ，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm$ ， $E$ 为边 $C D$ 上一点，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 所在的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $A D$ 边上的点 $F$ 处，过点 $F$ 作 $F M ⊥ B E$ ，垂足为点 $M$ ，取 $A F$ 的中点 $N$ ，连接 $M N$ ，若 $M N = 5 cm$ ，求 $D F$ 的长．

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19、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 3, - 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (0, - 3)$ ．

(1)、把 $△ A B C$ 向上平移 $4$ 个单位长度得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， A、B、C的对应点分别是 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以点 $O$ 为旋转中心，将 $△ A B C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ （A、B、C的对应点分别是 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2})$ ，并写出 $A_{2}$ 的坐标；

(3)、在（2）条件下，求 $B C$ 边扫过的面积．

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20、（ $1$ ）解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{3}{x^{2} - 1} + 1$ ．
（ $2$ ）解不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 < 3 x + 3 \\ 2 (x - 1) \leq \frac{2}{3} x + 1 \end{array}$ ，并将它的解集在数轴上表示出来．

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