相关试卷

1、龙舟比赛是端午节传统的比赛项目．某玩转数学小组发现：由于比赛龙舟长短不同，并不是所有龙舟都适合在同一条河道比赛．如图1，在

L

型直角赛道进行龙舟比赛，以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．

数学抽象绘制图形

龙舟转弯示意图可近似如图2所示

龙舟安全过弯示意图可近似如图3所示

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1．两河道宽均为 $d$ 米，龙舟长为 $a$ 米（龙头 $C$ 到龙尾 $D$ 之间的距离）；

2．龙舟中间最宽处1米，中间部分的中点即为龙舟中心 $G$ ；

3．当龙头行驶到河道中间某处时开始转弯，转弯过程可近似看作整个龙舟绕点 $O$ 逆时针旋转（ $O$ 在内外河道拐点 $A B$ 的延长线上，转弯时龙头 $C$ 和龙尾 $D$ 在如图所示的圆弧上运动），此时测得 $C$ ， $D$ 与旋转中心 $O$ 夹角 $∠ D O C = 60 °$ ．

1．龙舟平面示意图可近似看成是轴对称图形；

2．为保证龙舟能够安全过 $L$ 型直角弯道，龙舟在转弯开始前和转弯结束后都需行驶在河道正中间且与河岸平行；

3．学习小组发现若龙舟能够安全过弯，转弯过程中龙舟中间处边缘 $E$ 与内河道拐点 $B$ 最近距离不少于 $0.5$ 米（如图3所示）．

(1)、若该小组经过测量得到河道宽为15米，请求出河道拐点处的距离

A B

；

(2)、假设在龙舟能够安全过弯的情况下，龙舟从竖直河道转到水平河道过程中龙头始终保持速度大小不变，并测得转弯时间为6秒，求龙头转弯过程中的速度大小；（结果用含

a

的代数式表示）

(3)、在（1）条件下，该河道能够用于比赛的龙舟长度

a

的最大值是多少？

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2、已知抛物线 $G : y = 2 x^{2} + (m - 3) x + n$ 过点 $A (2, m + 3)$ ，点 $B$ 为抛物线 $G$ 与 $x$ 轴的一个交点．

(1)、用含 $m$ 的式子表示 $n$ ；

(2)、若点 $B$ 为定点，求点 $B$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，若抛物线 $G$ 在点 $B$ 左侧部分（包含点 $B$ ）的最低点的横坐标为 $m - 2$ ，求 $m$ 的值．

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3、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B D = 4$ ， $B O = 5$ ，求 $A D$ 的长．

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4、已知 $①$ 号盒中有 $m$ 个白球、 $1$ 个黄球， $②$ 号盒中有 $1$ 个白球、 $1$ 个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．

(1)、若从 $①$ 号盒中随机摸出 $1$ 个球，它是黄球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m =$ ______；

(2)、在（1）的条件下，分别从每个盒中各随机摸出 $1$ 个球，请用树状图或列表法求摸出的 $2$ 个球中 $1$ 个是白球、 $1$ 个是黄球的概率．

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5、据传说，为了估算金字塔的高度，古希腊数学家、天文学家泰勒斯在金字塔影子的顶部 $A$ 处立一根长2米的木杆 $A C$ ，测得它的影长 $A D$ 为3米，点 $O$ 为金字塔底面的中心，且 $O A$ 为201米，求金字塔的高度 $O B$ ．

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6、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在正方形网格图的格点上，将线段 $B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到线段 $D E$ （点 $D$ 为点 $B$ 的对应点）．

(1)、画出线段 $D E$ ；

(2)、以 $D E$ 为直径作 $⊙ O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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7、如图，直径为 $A B$ 的 $⊙ O$ 上有一点 $C$ ，连接 $B C$ ，将 $\overset{⌢}{B C}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度得到 $\overset{⌢}{B D}$ ，点 $D$ 恰好落在直径 $A B$ 上．
（1）若 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ ；
（2）若 $B C$ 与 $\overset{⌢}{B D}$ 相交于点 $E$ ，且 $\overset{⌢}{D E} = \overset{⌢}{B E}$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ ．

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8、已知 $A (- 1, 5)$ ， $B (m, 5)$ 为抛物线 $y = x^{2} - 2 x + n$ 上不重合的两点，则 $m =$ ．

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9、在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为．

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10、已知点 $(- 1, m)$ 和点 $(- 5, n)$ 都在二次函数 $y = a x^{2} + b x (a < 0)$ 的图象上，且 $m n < 0$ ．若点 $(1, y_{1})$ ， $(- 2, y_{2})$ ， $(- 6, y_{3})$ 也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（）．

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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11、形如 $x (x + 2) = 3$ 的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为 $(x + 2)$ 和 $x$ 的矩形，围成一个边长为 $(2 x + 2)$ 的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为 $3 \times 4 + 2^{2} = 16$ ，则该方程的正数解为 $x = (4 - 2) \div 2 = 1$ ．羊羊同学按此方法解关于 $x$ 的方程 $x (x + m) = m$ 时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为 $x = \frac{2}{3}$ ，则图2所示的大正方形的面积为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{32}{9}$ D、 $\frac{64}{9}$

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12、如图，将 $△ A B C$ 绕顶点 $A$ 顺时针方向旋转后得到 $△ A E D$ ，此时点 $D$ 恰好落在边 $B C$ 上．若 $A E \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} ∥ \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} B C$ ， $∠ E A C = 110 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为（）．

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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13、如图，在一块长 $8 m$ ，宽 $6 m$ 的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等．设花圃四周绿地的宽为 $x m$ ，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，那么 $x$ 满足的方程是（）．

A、 $(8 - x) (6 - x) = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$ B、 $(8 - x) (6 - x) = 6 \times 8$ C、 $(8 - 2 x) (6 - 2 x) = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$ D、 $(8 - 2 x) (6 - 2 x) = 6 \times 8$

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14、如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度 $C D = 2 cm$ ，则经过球心的截面圆的半径 $O A = 6 cm$ ，则弦 $A B$ 的长为（） $cm$ ．

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $2 \sqrt{5}$

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15、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心，若 $O A = 2$ ， $O D = 4$ ， $A C = 3$ ，那么 $D F$ 的长是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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16、下列图形中，是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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17、在综合实践课上，小聪用一张长为 $b$ ，宽为 $a (b > 2 a)$ 的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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18、（1）观察发现：材料：解方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 4 ① \\ 3 (x + y) + y = 14 ② \end{array}$ ，将①整体代入②，得 $3 \times 4 + y = 14$ ，解得 $y = 2$ ，把 $y = 2$ 代入①，得 $x = 2$ ，所以 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组 $\{\begin{array}{l} x - y - 2 = 0 \\ 3 (x - y) - 3 y = 3 \end{array}$ 的解为__________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y - 2 = 0 \\ \frac{2 x + y + 4}{3} + y = 3 \end{array}$ ；
（3）若 $x^{2} - 2 y = 1$ ，则 $2 x^{2} - 4 y - 3$ 的值为__________；
（4）拓展运用：若关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = - 3 m + 2 \\ x + 2 y = 7 \end{array}$ 的解满足 $x + y > - 2$ ，请直接写出满足条件的 $m$ 的所有正整数值__________．

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19、【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为 $15 dm, 3 dm, 2 dm$ ，如图1所示． $A$ 和 $B$ 是这个四级台阶两个相对的端点，若点 $A$ 处有一只蚂蚁，它想到点 $B$ 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接 $A B$ ，经过计算得到 $A B$ 长度即为最短路程，则 $A B =$ ______________ $dm$ ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 $10 cm$ ，高是 $15 cm$ ，一只蚂蚁从点 $A$ 出发沿着玻璃杯的侧面到与点 $A$ 相对的点 $B$ 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底 $6 cm$ 的点 $B$ 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿 $3 cm$ 与蜂蜜相对的点 $A$ 处，则蚂蚁从外壁 $A$ 处到内壁 $B$ 处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）

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20、为探究未拧紧水龙头造成的浪费情况，小星将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下面放一个量杯，每隔一分钟记录量杯中的水量，开始计时的时候量杯中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间 $t / min$
1
2
3
4
5
…
总水量 $y / mL$
7.5
13.0
18.5
24.0
29.5
…

(1)、根据以上数据，随着时间 $t$ 的增加，总水量 $y$ 的变化___________均匀的（填“是”或“不是”）．

(2)、求总水量 $y$ 关于时间 $t$ 的函数表达式．

(3)、根据以上数据估计这个水龙头一天的漏水量是多少 $L$ ？

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时间 $t / min$	1	2	3	4	5	…
总水量 $y / mL$	7.5	13.0	18.5	24.0	29.5	…