相关试卷

1、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 5)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、①如图1，若点 $P$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；
②如图2，若点 $Q$ 为抛物线对称轴上一个动点，当 $Q B = Q C$ 时，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上一点，点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $M$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ． $A C = \sqrt{10}$ ， $O B = O C = 3 O A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使 $Δ P C B$ 的面积最大，求出点P的坐标；

(3)、在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P ， B ， M ， Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与y轴相交于点C ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在上点P ，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴相交于A ， B两点，与y轴相交于点C ，直线 $y = k x + n (k \neq 0)$ 经过B ， C两点，已知 $A (1 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ ，且 $B C = 5$ ．

(1)、试求出点B的坐标．

(2)、分别求出直线 $B C$ 和抛物线的解析式．

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以 $B ， C ， P$ 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、如图是二次函数 $y = {(x + m)}^{2} + k$ 的图象，其顶点坐标为 $M (1, - 4)$ ．

(1)、求出图象与x轴的交点A ， B的坐标；

(2)、在二次函数的图象上是否存在点P ，使 $S_{△ P A B} = S_{△ M A B}$ ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、在y轴上存在一点Q ，使得 $Δ Q M B$ 周长最小，求此时构成的 $Δ Q M B$ 的面积．

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6、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (1, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ 两点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 $△ Q A C$ 的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使 $Δ P B C$ 的面积最大？若存在，求出 $△ P B C$ 面积的最大值．若没有，请说明理由．

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7、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，交y轴于点C ，且 $O C = 2 O B$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点E是该抛物线对称轴上一点，且 $Δ E B C$ 的周长最小，求点E的坐标；

(3)、直线 $A C$ 下方的抛物线上是否存在一点F ，使得 $Δ F A C$ 的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标．

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8、如图，一次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ 、 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 为抛物线上一动点，在直线 $A B$ 上方是否存在点 $P$ 使 $Δ P A B$ 的面积最大？若存在，请求出 $Δ P A B$ 面积的最大值及点 $P$ 的坐标，请说明理由．

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9、如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{10}{3} x + c$ 经过 $B$ 、 $C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，点 $E$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，当 $△ B E C$ 面积最大时，请求出点 $E$ 的坐标；

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10、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C ，其中A点的坐标是 $(1, 0)$ ， C点坐标是 $(4, 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 $A C$ 的下方，试求 $△ A C E$ 的最大面积及E点的坐标．

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11、2022年第一季度我省 $G D P$ 总值约为10000亿元，第三季度的 $G D P$ 总值约为11025亿元．

(1)、假定第二季度、第三季度我省 $G D P$ 总值的增长率相同，求这个增长率；

(2)、若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的 $G D P$ 总值能否突破12000亿元？并说明理由．

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12、小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．

(1)、求该抛物线的表达式．

(2)、在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？

(3)、小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式 $y = - x^{2} + (a + 1) x + 1$ ．当 $1 \leq x \leq 2$ 时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．

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13、小明和小亮玩打水仗，两人相距 $7$ 米，两人身高都是 $1.5$ 米．以水平线为 $x$ 轴，小明所站立线为 $y$ 轴建立如图所示直角坐标系，点 $A (0, 1.5)$ 是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线 $C_{1} : y = a {(x - 3)}^{2} + 2.5$ ，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为 $B (7, 1.8)$ ，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线 $C_{2} : y = m x^{2} + b x + c$ ，且其过点 $(4, 3.6)$ ．

(1)、请通过计算说明小明能否喷到小亮；

(2)、如果 $(4, 3.6)$ 是抛物线 $C_{2}$ 的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．

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14、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

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15、掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位： $m$ ）可近似看作水平距离x（单位： $m$ ）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当 $x = 2$ 与 $x = 6$ 时实心球在同一高度，当 $x = 4$ 时 $y = 3.6$ ，当 $x = 5$ 时 $y = 3.5$ ，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 $m$ ．

(2)、求满足条件的抛物线的解析式．

(3)、根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10 $m$ 时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．

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16、为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．

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17、“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 $30$ 天中，第 $x$ 天 $(1 \leq x \leq 30$ 且 $x$ 为整数)的售价为 $y$ (元 $/$ 千克)．当 $1 \leq x \leq 20$ 时， $y = k x + b$ ；当 $20 < x \leq 30$ 时， $y = 15$ ．销量 $z$ (千克)与 $x$ 的函数关系式为 $z = x + 10$ ，已知该产品第 $10$ 天的售价为 $20$ 元 $/$ 千克，第 $15$ 天的售价为 $15$ 元 $/$ 千克，设第 $x$ 天的销售额为 $M$ (元)．

(1)、 $k =$ ， $b =$ ；

(2)、写出第 $x$ 天的销售额 $M$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、求在试销售的 $30$ 天中，共有多少天销售额超过 $500$ 元？

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18、人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A ， C重合），安装一直角形钢架 $D P E$ 对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且 $P D ∥ x$ 轴， $P E ∥ y$ 轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架 $D P E$ 对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架 $D P E$ 对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ ，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）

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19、如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为 $4.2 m$ ，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为 $y = a x ² + 4.2 (a < 0)$ ，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（）

A、以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 $y$ 轴 B、以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为 $x$ 轴 C、以水面为 $x$ 轴，以抛物线的对称轴为 $y$ 轴 D、以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为 $y$ 轴

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20、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 和点 $E$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点，点 $M$ 和点 $N$ 分别从点 $A$ 和点 $E$ 出发，沿着 $A \to C \to B$ 方向运动，运动速度都是1个单位 $/$ 秒，当点 $N$ 到达点 $B$ 时，两点间时停止运动．设 $△ D M N$ 的面积为 $S$ ，运动时间为 $t$ ，则 $S$ 与 $t$ 之间的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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